Problem P. 5178. (December 2019)
P. 5178. There is a spring gun of negligible mass fixed at an angle of \(\displaystyle \alpha = 30^\circ\) to a cart of mass \(\displaystyle m\) on the horizontal ground. The spring gun shoots a bullet in two cases. In the first case the cart can move freely, whilst in the other the cart is fixed. The vertical displacement of the bullet in the first case is \(\displaystyle h_1\), and in the second case it is \(\displaystyle h_2\). Determine the ratio \(\displaystyle h_2/h_1\).
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a lövedék – talajhoz viszonyított – kezdősebességének vízszintes sebességkomponensét \(\displaystyle v_x\)-szel, a függőleges összetevőt \(\displaystyle v_y\)-nal, a rugóban tárolt energiának mechanikai szempontból hasznosítható részét pedig \(\displaystyle E\)-vel.
Az első esetben, amikor a kocsi rögzített, fennállnak a következő összefüggések:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)=E,\) |
továbbá
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{v_y}{v_x}=\rm tg\,\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}.\) |
Fejezzük ki \(\displaystyle v_x\)-et a (2) összefüggésből \(\displaystyle v_y\) segítségével, és helyettesítsük azt (1)-be, majd számítsuk ki (ismertnek tekintett \(\displaystyle E\) mellett) a lövedék függőleges irányú kezdősebességét:
\(\displaystyle v_x=\frac{v_y}{\tg\alpha}=\sqrt{3}v_y,\)
\(\displaystyle v_y=\sqrt{\frac{E}{2m}}.\)
A lövedék emelkedési magassága (a ferde hajítás összefüggései szerint):
\(\displaystyle h_1=\frac{v_y^2}{2g}=\frac{E}{4mg}.\)
A második esetben a lövedék kilövése során a kiskocsi \(\displaystyle u\) sebességgel visszalökődik. A vízszintes irányú lendület megmaradási törvénye szerint \(\displaystyle u=v_x\). Az energiamegmaradás törvénye most így írható:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)+\frac{1}{2}mu^2=E,\) |
továbbá a kilövés irányából adódó kényszerfeltétel:
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \frac{v_y}{2 v_x}=\rm tg\,\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}.\) |
(Felhasználtuk, hogy a visszalökődő kiskocsihoz viszonyítva a lövedék vízszintes irányú sebessége \(\displaystyle v_x+u=2v_x\).)
Fejezzük ki most is \(\displaystyle v_x\)-et a (4) összefüggésből \(\displaystyle v_y\) segítségével, és helyettesítsük azt (3)-ba, majd számítsuk ki (ismertnek tekintett \(\displaystyle E\) mellett) a lövedék függőleges irányú kezdősebességét:
\(\displaystyle v_x=\frac{v_y}{2\tg\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}v_y,\)
\(\displaystyle v_y=\sqrt{\frac{4E}{5m}}.\)
A lövedék emelkedési magassága most
\(\displaystyle h_2=\frac{2E}{5mg},\)
és a kérdezett arány:
\(\displaystyle \frac{h_2}{h_1}=\frac{8}{5}=1{,}6.\)
Megjegyzés. Első ránézésre furcsának tűnhet, hogy a lövedék emelkedési magassága a visszalökődő kocsi esetében nagyobb, mint a rögzített puskából kilőtt lövedéké, jóllehet az első esetben a rugóban tárolt energiának még a kocsi mozgási energiáját is fedeznie kell. A látszólagos ellentmondást a kényszerfeltételek különbözősége oldja fel. A visszalökődő kocsinál a lövedék vízszintes irányú sebessége \(\displaystyle v_y\)-hoz viszonyítva kisebb, mint a rögzített kocsinál, így (az emelkedési magasság szempontjából lényegtelen) vízszintes irányú mozgásnak megfelelő energia is kisebb lesz, mint a rögzített puska esetén.
Statistics:
48 students sent a solution. 5 points: Békési Ábel, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Toronyi András, Viczián Anna. 4 points: Bokor Endre. 3 points: 1 student. 2 points: 14 students. 1 point: 15 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Physics of KöMaL, December 2019