Problem P. 5180. (December 2019)
P. 5180. A sample of monatomic ideal gas is taken through the cyclic process \(\displaystyle ABCA\) shown in the figure. What is the efficiency of the cyclic process if the highest temperature of the gas (measured in kelvins) is nine times as big as the lowest temperature of the gas?
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először határozzuk meg \(\displaystyle \lambda\) értékét! Az 1. ábrán feltüntettük a legalacsonyabb és a legmagasabb hőmérséklethez tartozó izotermákat. Az állapotegyenlet szerint
\(\displaystyle T=\frac{pV}{nR},\)
vagyis az izotermák a \(\displaystyle pV=\)állandó egyenletű hiperbolák.
1. ábra
A körfolyamatban a legalacsonyabb hőmérséklet az \(\displaystyle A\) ponthoz tartozik:
\(\displaystyle T_\text{min}=\frac{p_0V_0}{nR}.\)
A legmagasabb hőmérsékletű állapotot ott találjuk, ahol az izoterma érinti a \(\displaystyle BC\) egyenest. Ez az ábra szimmetrikus volta miatt a \(\displaystyle BC\) szakasz \(\displaystyle F\) felezőpontjában teljesül, és ott
\(\displaystyle T_\text{max}= \left(\frac{\lambda+1}{2}\right)^2\frac{p_0V_0}{nR}.\)
Látható, hogy a megadott \(\displaystyle T_\text{max}=9T_\text{min}\) feltétel akkor áll fenn, ha \(\displaystyle \lambda=5\).
A gáz által végzett ,,hasznos'' munka az\(\displaystyle ABC\) háromszög területe:
\(\displaystyle W=\frac{(4p_0\cdot 4V_0)}{2}= 8\,p_0V_0.\)
A hatásfok kiszámításához meg kell határoznunk a körfolyamat során felvett hőt. A \(\displaystyle C\rightarrow A\) szakaszon (izobár összehúzódás) hőleadás történik. Az \(\displaystyle A\rightarrow B\) szakaszon (izochor állapotváltozás) tágulási munka nincs, a hőfelvétel a belső energia növekedésével egyezik meg:
\(\displaystyle Q_{AB}=E_B-E_A=\frac{3}{2}(\lambda-1)p_0V_0=6\,p_0V_0.\)
(Felhasználtuk, hogy az egyatomos ideális gáz belső energiája \(\displaystyle E=\tfrac32 pV\).)
Bonyolultabb a helyzet a \(\displaystyle B\rightarrow C\) szakaszon történő hőfelvétellel. A folyamat elején, a 2. ábrán bejelölt \(\displaystyle D\) pontig hőfelvétel, \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle C\) között pedig hőleadás történik.
2. ábra
A \(\displaystyle D\) pontot az jellemzi, hogy a rajta átmenő adiabata érinti a \(\displaystyle BC\) egyenest, vagyis a \(\displaystyle D\) pont környékén egy kicsi \(\displaystyle \Delta V\) térfogatváltozásnál nincs hőcsere, a belső energia csökkenése éppen fedezi a gáz által végzett tágulási munkát:
\(\displaystyle \frac{3}{2}\left(p^*-\frac{p_0}{V_0}\Delta V\right)( V^*+\Delta V)-\frac{3}{2}p^* V_D+p_D\Delta V=0. \)
(Felhasználtuk, hogy a \(\displaystyle BC\) egyenes mentén \(\displaystyle \Delta p=-(p_0/V_0)\Delta V.\)) A fenti egyenletből a \(\displaystyle (\Delta V)^2\)-tel arányos (másodrendűen kicsiny) tagot elhagyva
\(\displaystyle \frac{p^*}{V^*}=\frac{3}{5}\,\frac{p_0}{V_0}\)
következik. Másrészt tudjuk, hogy \(\displaystyle D\) rajta fekszik a \(\displaystyle BC\) egyenesen, vagyis
\(\displaystyle \frac{p^*}{p_0}=6-\frac{V^*}{V_0}.\)
Ebből a két összefüggésből kifejezhetjük a hőfelvétel határának állapotjelzőit:
\(\displaystyle V^*=\frac{15}{4}V_0 \qquad \text{és} \qquad p^*=\frac{9}{4}p_0.\)
Most már nincs akadálya annak, hogy megadjuk a \(\displaystyle B\rightarrow D\) folyamat alatt felvett hő nagyságát:
\(\displaystyle Q_{BD}=E_D-E_B+W'_{B\rightarrow D}=\frac32(p^*V^*-p_0V_0)+\frac{5p_0+p^*}{2}(V^*-V_0)=\frac{121}{8}p_0V_0\approx 15{,}1p_0V_0. \)
A teljes hőfelvétel a körfolyamatban:
\(\displaystyle Q^{\rm fel}_\text{összes}= Q_{AB}+Q_{BD}=\frac{169}{8}\approx 21{,}1p_0V_0, \)
és végül a körfolyamat termikus hatásfoka:
\(\displaystyle \eta=\frac{W}{Q^{\rm fel}_\text{összes}}=\frac{64}{169}\approx 0{,}38=38\%.\)
Statistics:
31 students sent a solution. 5 points: Bokor Endre, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Horváth 999 Anikó, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Vass Bence. 4 points: Fekete Levente. 3 points: 4 students. 2 points: 2 students. 1 point: 2 students. 0 point: 11 students.
Problems in Physics of KöMaL, December 2019