Problem P. 5181. (December 2019)

P. 5181. There is a thin negligible-mass piston at exactly the middle of the height of a container which is open at its top and is shown in the figure. The volume of the enclosed air is \(\displaystyle V_0\), and the atmospheric pressure is 76 cmHg. Slowly mercury is poured to the piston, until the level of the mercury reaches the rim of the container. How much does the piston move? (The container and the piston are thermal insulators; and we have \(\displaystyle h=38\) cm.)

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Számoljuk a nyomásokat Hgcm egységekben! Kezdetben a bezárt levegő nyomása a légköri nyomással, vagyis \(\displaystyle 2h\)-val egyezik meg, a térfogata \(\displaystyle V_0\). A higany rátöltése után a dugattyú \(\displaystyle xh\)-val kerül lejjebb (\(\displaystyle x\) egy dimenziótlan arányszám, ennek számértékét keressük ), a térfogat tehát \(\displaystyle (1-x)V_0\), a nyomás pedig \(\displaystyle (3+x)h\) lesz (ez a \(\displaystyle 2h\) nagyságú légköri nyomás és a higany \(\displaystyle (1+x)h\) hidrosztatikai nyomásának összege). A hőszigetelt tartályban lévő levegő nem vesz fel hőt, érvényes tehát a \(\displaystyle pV^\kappa=\)állandó adiabatikus állapotegyenlet (levegőre \(\displaystyle \kappa=1{,}4\)). Esetünkben ez a következőt jelenti:

\(\displaystyle (3+x)(1-x)^{1{,}4}=2,\)

amelynek numerikusan megkapható megoldása: \(\displaystyle x\approx 0{,}3\). Innen következik, hogy a dugattyú elmozdulása: \(\displaystyle xh\approx 11{,}4~\)cm.

Statistics:

42 students sent a solution.
4 points:	Beke Zsolt, Bonifert Balázs, Dóra Márton, Fekete András Albert, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Kozaróczy Csaba, Toronyi András, Vass Bence.
3 points:	Rusvai Miklós, Schäffer Bálint, Szoboszlai Szilveszter.
2 points:	2 students.
1 point:	20 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, December 2019