Problem P. 5182. (December 2019)

P. 5182. The defroster of the rear window of a car consists of 13 very thin, nearly invisible pieces of wire glued into the glass of the window. The resistivity of the material of the wires is \(\displaystyle 8.8\cdot 10^{-7}~\Omega\rm m\). Each wire is 1.3 m long and they are all connected to the 12 V electric generator of the car in parallel. The defroster melts 21 g \(\displaystyle 0\,{}^\circ\)C ice to \(\displaystyle 0\,{}^\circ\)C water in 2 minutes. Suppose that all the energy of heating is used to melt the ice.

\(\displaystyle a)\) What is the diameter of the wire?

\(\displaystyle b)\) How long does it take to melt the same amount of ice at a temperature of \(\displaystyle -10\,{}^\circ\)C to water at a temperature of \(\displaystyle 0\,{}^\circ\)C?

\(\displaystyle c)\) What is the current in each of the wires?

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. 21 g \(\displaystyle 0\,^\circ\)C-os jég megolvasztásához \(\displaystyle 0{,}021\cdot 335~{\rm kJ}=7{,}03 ~{\rm kJ}\) energia szükséges. A 13 vezeték által leadott teljesítmény összesen \(\displaystyle \frac{7{,}03 ~{\rm kJ}}{120 ~{\rm s}}=58{,}6~\rm W\), egy-egy vezeték teljesítménye pedig 4,5 W.

\(\displaystyle c)\) Mindegyik vezetékben \(\displaystyle \frac{4{,}5~\rm W}{12~\rm V}=0{,}375~\rm A\) erősségű áram folyik, és egy-egy vezeték ellenállása \(\displaystyle \frac{12~\rm V}{0{,}375~\rm A}=32~\Omega.\)

\(\displaystyle a)\) A vezeték ellenállásának, a hosszának és a fajlagos ellenállásának ismeretében kiszámíthatjuk a keresztmetszetét:

\(\displaystyle A= \frac {8{,}8\cdot 10^{-7}~\Omega{\rm m}\cdot 1{,}3~\rm m} {32~\Omega}\approx 0{,}036~\rm mm^2,\)

majd ebből a vezeték átmérőjét:

\(\displaystyle d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}\approx 0{,}2 ~\rm mm.\)

\(\displaystyle b)\) Egy kg jég 10 fokkal történő felmelegítéséhez 21 kJ, a megolvasztásához pedig 335 kJ energia szükséges. Ez 1,06-szor nagyobb, mintha csak meg kellene olvasztani a \(\displaystyle 0\,^\circ\)C-os jeget. Ezek szerint a \(\displaystyle -10\,^\circ\)C-os jéggel borított hátsó ablak jégtelenítéséhez 6 százalékkal több idő, kb. 2 perc és 7 másodperc szükséges.

Statistics:

46 students sent a solution.
4 points:	Bekes Barnabás, Békési Ábel, Csécsi Marcell, Csizy Gergő , Dormán Mihály Vilmos, Fiam Regina, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hamar Dávid, Hegymegi Balázs, Jánosik Máté, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Németh Kristóf, Pálfi Fruzsina Karina, Rusvai Miklós, Schäffer Bálint, Selmi Bálint, Szabó 314 László, Szász Levente, Takács Dóra, Tanács Kristóf, Téglás Panna, Török 111 László, Varga Vázsony.
3 points:	Beke Zsolt, Csapó Tamás, Dékány Csaba, Dóra Márton, Endrész Balázs, Fekete Levente, Horváth 999 Anikó, Kalmár Dóra, Kardkovács Levente, Kozaróczy Csaba, Nemeskéri Dániel, Páhán Anita Dalma, Somlán Gellért, Tanner Norman.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, December 2019