Problem P. 5183. (December 2019)
P. 5183. A coil of inductance \(\displaystyle L\) is connected to the top ends of a vertical pair of rails shown in the figure. The distance between the rails is \(\displaystyle \ell\). A small rod of mass \(\displaystyle m\) and of negligible resistance can move along the rails without friction. The external magnetic field \(\displaystyle \boldsymbol B\) is horizontal and perpendicular to the plane of the rails.
Releasing the rod
\(\displaystyle a)\) at most what is the induced electromotive force in the coil;
\(\displaystyle b)\) and at most what is the induced current?
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a rúd pillanatnyi elmozdulását \(\displaystyle x(t)\)-vel, az áramerősséget \(\displaystyle I(t)\)-vel, és a tekercs végpontjai közötti feszültséget \(\displaystyle U(t)\)-vel! A gravitációs helyzeti energia csökkenése megegyezik a rúd mozgási energiájának és a tekercs mágneses energiájának növekedtével:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle mgx(t)=\frac{L}{2}I(t)^2+\frac{m}{2}v(t)^2.\) |
Igaz továbbá, hogy a rúdban indukálódó \(\displaystyle U(t)=B\ell v(t)\) feszültség a tekercs végpontjai közötti feszültség ugyanakkora:
\(\displaystyle B\ell v(t)=L\frac{\Delta I(t)}{\Delta t},\)
amit \(\displaystyle v(t)=\frac{\Delta x(t)}{\Delta t}\) miatt így is felírhatunk:
\(\displaystyle \frac{\Delta (LI -B\ell x)}{\Delta t}= 0, \qquad \text{azaz} \qquad LI(t)-B\ell x(t)=\text{állandó}.\)
Az állandó értéke nulla, hiszen a rúd elengedésekor \(\displaystyle I(0)=v(0)=0.\) Látjuk tehát, hogy az áramkör áramerőssége arányos a rúd elmozdulásával (süllyedésével):
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle I(t)=\frac{B\ell}{L}\, x(t).\) |
Ezt visszaírva (1)-be a
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle v^2=2gx-\frac{B^2\ell^2}{mL}\,x^2\) |
kvadratikus kifejezést kapjuk. Ebből leolvasható, hogy a rúd legnagyobb elmozdulása (ahol a sebesség ismét nullává válik):
\(\displaystyle x_\text{max}=\frac{2mgL}{B^2\ell^2}.\)
Az áramerősség legnagyobb értékét a legnagyobb elmozdulásból (2) alapján számíthatjuk ki:
\(\displaystyle I_\text{max}=\frac{2mg}{B\ell}.\)
A rúd legnagyobb sebessége a (3) kvadratikus kifejezés maximális értéke:
\(\displaystyle v_\text{max}=\frac{g}{B \ell }\sqrt{mL}.\)
(Ezt \(\displaystyle v(x)\) teljes négyzetté alakításával vagy szélsőérték-számítással, esetleg a parabola tulajdonságainak kihasználásával láthatjuk be.) A legnagyobb indukált feszültség értéke:
\(\displaystyle U_\text{max}=B\ell v_\text{max}=g\sqrt{mL}.\)
Megjegyzés. Nem tartozott a feladat kérdései közé, hogy megadjuk a rúd elmozdulásának, az indukálódó feszültségnek és az áramerősségnek időbeli változását. Ezt – elemi eszközökkel – úgy tehetjük meg, hogy felismerjük a feladatban szereplő folyamatok és a (kezdetben nyújtatlan) rugóra akasztott test harmonikus rezgőmozgása közötti hasonlóságot. Így beláthatjuk, hogy
\(\displaystyle x(t)=\frac{mgL}{B^2\ell^2} (1-\cos \omega t),\qquad v(t)= \frac{g\sqrt{mL}}{B \ell}\,\sin\omega t,\)
továbbá
\(\displaystyle U(t)= {g\sqrt{mL}} \,\sin\omega t \qquad \text{és} \qquad I(t)=\frac{mg}{B\ell}(1-\cos \omega t); \)
ahol \(\displaystyle \omega=\frac{B\ell}{\sqrt{mL}}\).
Statistics:
8 students sent a solution. 5 points: Bokor Endre, Bonifert Balázs, Horváth 999 Anikó, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Tóth Ábel. 4 points: Györgyfalvai Fanni. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, December 2019