Problem P. 5185. (December 2019)
P. 5185. A small disc is moving along a horizontal surface. The resistive force exerted on the disc is proportional to the instantaneous speed of the disc. Two experiments are carried out:
\(\displaystyle (i)\) If the disc is pushed and given an initial speed of \(\displaystyle v_0\), then it moves 50 cm until it stops.
\(\displaystyle (ii)\) When the speed of the initially pushed disc decreases to the value of \(\displaystyle v_0/2\), the disc collides with another initially standing disc. The resistive force exerted on this other disc is also proportional to the speed of this disc. (The proportionality constant is the same for both discs.) The collision is head-on and elastic. Surprisingly, the two discs stop next to each other.
\(\displaystyle a)\) What is the ratio of the masses of the discs?
\(\displaystyle b)\) How far from the position of the collision did the discs stop?
(6 pont)
Deadline expired on January 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük az első kísérletben szereplő korong tömegét \(\displaystyle m\)-mel, a fékezőerő képletében szereplő arányossági tényezőt pedig \(\displaystyle \gamma\)-val. A korong mozgásegyenlete:
\(\displaystyle m\frac{\Delta v}{\Delta t}= -\gamma v=-\gamma \frac{\Delta x}{\Delta t}\)
(ahol \(\displaystyle v\) a pillanatnyi sebességet, \(\displaystyle x\) pedig a pillanatnyi elmozdulást jelöli). Ezek szerint
\(\displaystyle \frac{m\Delta (v)}{\Delta t}+\frac{\gamma \Delta x }{\Delta t}\equiv\frac{\Delta (mv+\gamma x)}{\Delta t}=0,\)
vagyis az \(\displaystyle mv+\gamma x\) kifejezés időben állandó. Az induláskor \(\displaystyle v=v_0\) és \(\displaystyle x=0\), a megálláskor \(\displaystyle v=0\) és \(\displaystyle x=s=50~\rm cm\), tehát
\(\displaystyle mv_0=\gamma s,\qquad \text{vagyis}\qquad \gamma=\frac{mv_0}{s}.\)
Tekintsük most azt az esetet, amikor az \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle v_0/2\) sebességű test rugalmasan ütközik az \(\displaystyle M\) tömegű, álló testtel. Az energia- és a lendületmegmaradás törvényéből következik, hogy a korongok ütközés utáni sebessége (mindegyiket \(\displaystyle v_0/2\) irányában tekintjük pozitívnak):
\(\displaystyle u_m=\frac{m-M}{m+M}\cdot \frac{v_0}{2}, \qquad \text{illetve}\qquad u_M= \frac{2m}{m+M}\cdot \frac{v_0}{2}.\)
Ezeket a ,,kezdősebességeket'' a korongok tömegével súlyozva megkapjuk a megállásukig megtett útjukat:
\(\displaystyle s_m=\frac{m u_m}{\gamma}=\frac{m-M}{m+M}\,\frac{s}{2},\)
valamint
\(\displaystyle s_M=\frac{M u_M}{\gamma}=\frac{2M }{m+M}\,\frac{s}{2}.\)
\(\displaystyle a)\) A két korong akkor áll meg éppen egymás mellett, ha \(\displaystyle s_m=s_M\), ez pedig \(\displaystyle m=3M\) esetén teljesül.
\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle m=3M\), akkor
\(\displaystyle s_m=s_M=\frac{s}{4}=12{,}5~\rm cm.\)
Megjegyzések. Belátható, hogy mindkét korong sebessége az idő exponenciális függvénye szerint tart nullához, tehát (ha valóban csak a feladatban szereplő fékezőerő hat rájuk) véges idő alatt sohasem állhatnak meg.
Statistics:
17 students sent a solution. 6 points: Bokor Endre, Bonifert Balázs, Fülöp Sámuel Sihombing, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Selmi Bálint, Takács Árpád, Tóth Ábel, Varga Vázsony, Viczián Anna. 5 points: Fonyi Máté Sándor, Somlán Gellért, Vass Bence. 4 points: 3 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, December 2019