Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5187. (January 2020)

P. 5187. Two simple pendulums are fixed at the same height. They swing in parallel planes close to each other. One of them is \(\displaystyle \ell_1=25\) cm, whilst the other is \(\displaystyle \ell_2=1.2\) m long. The two pendulums are displaced in the opposite direction at the same small angle, and then released.

\(\displaystyle a)\) How long does it take for the pendulums to go past each other after they were released?

\(\displaystyle b)\) How much time elapses until they meet again?

\(\displaystyle c)\) What should the ratio of the lengths of the pendulums be in order that the fifth encounter be the first one when the direction of the velocities of the two pendulum bobs is the same?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Kis kitérések esetén a fonálingák szögkitérése:

\(\displaystyle \varphi_1(t)=A \cos(\omega_1t), \qquad \varphi_2(t)=-A \cos(\omega_2t),\)

ahol \(\displaystyle A\ll 1\) a lengések maximális szögkitérése, a körfrekvenciák pedig

\(\displaystyle \omega_1=\sqrt{\frac{g}{\ell_1}}\approx 6{,}26~\frac{1}{\rm s}, \qquad \text{illetve}\qquad \omega_2=\sqrt{\frac{g}{\ell_2}}\approx 2{,}86~\frac{1}{\rm s}.\)

A továbbiak szempontjából lényeges mennyiség a két körfrekvencia aránya:

\(\displaystyle K=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}=2{,}19. \)

(A fenti képletekben szereplő körfrekvenciák a fonalak rezgőmozgására vonatkoznak, nem keverendők össze a fonalak szögének pillanatnyi változási sebességéhez, vagyis a szögsebességükhöz tartozó körfrekvenciával.)

Amikor a két fonál egymás mellett halad el, teljesül \(\displaystyle \varphi_1(t)=\varphi_2(t),\) vagyis

\(\displaystyle \varphi_2(t)-\varphi_1(t)=A \cos(\omega_2t)+A\cos\left(K\omega_2t\right)\equiv 2A\cos\left(\frac{K+1}{2}\omega_2t\right)\cdot\cos\left(\frac{K-1}{2}\omega_2t\right)=0. \)

A fenti egyenlet megoldásai:

\(\displaystyle \omega_2t\equiv \alpha_n=(2n-1)\frac{\pi}{K+1}, \qquad \text{illetve}\qquad \omega_2t\equiv \beta_n=(2n-1)\frac{\pi}{K-1}, \)

ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. \(\displaystyle \alpha_n\) és \(\displaystyle \beta_n\) az első inga (radiánban mért) fázisszöge az ingák találkozásának pillanatában. Esetünkben \(\displaystyle K=2{,}19\), vagyis

\(\displaystyle \alpha_1=0{,}98; \quad\alpha_2=2{,}95; \quad\alpha_3=4{,}92; \ldots,\)

\(\displaystyle \beta_1=2{,}63; \quad\beta_2=7{,}92; \quad\beta_3=13{,}20; \ldots,\)

\(\displaystyle a)\) A találkozások fázisszögeit növekvő sorrendbe rakva leolvashatjuk, hogy az indulástól számított

\(\displaystyle t_1=\frac{\alpha_1}{\omega_2}=0{,}34~\rm s\)

múlva kerül a két fonál fedésbe.

\(\displaystyle b)\) A második találkozás időpontja:

\(\displaystyle t_2=\frac{\beta_1}{\omega_2}=0{,}92~\rm s.\)

\(\displaystyle c)\) Belátjuk, hogy az \(\displaystyle \alpha_i\) szögeknél az ingák ,,szembe haladva'' találkoznak, vagyis a sebességük ellentétes előjelű, a \(\displaystyle \beta_i\) szögeknél pedig ugyanabba az irányba mozognak, sebességük egyforma előjelű.

A lengő testek sebessége:

\(\displaystyle v_1(t)=-A\ell_1\omega_1\sin(\omega_1t), \qquad v_2(t)= A\ell_2\omega_2\sin(\omega_2t).\)

\(\displaystyle (i)\) A sebességek aránya az \(\displaystyle \alpha_n\) fázisszögű találkozásoknál:

\(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=-\frac{\ell_1}{K\ell_2}\, \frac{\sin\alpha_n}{\sin(K\alpha_n)}.\)

Tekintve, hogy \(\displaystyle \alpha_n+K\alpha_n=(2n-1)\pi,\) vagyis \(\displaystyle \sin\alpha_n=\sin(K\alpha_n),\) a sebességek aránya negatív, az ingák szembe mozogva találkoznak.

\(\displaystyle (ii)\) A sebességek aránya az \(\displaystyle \beta_n\) fázisszögű találkozásoknál:

\(\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=-\frac{\ell_1}{K\ell_2}\, \frac{\sin\beta_n}{\sin(K\beta_n)}.\)

Tekintve, hogy \(\displaystyle \beta_n-K\beta_n=(2n-1)\pi,\) vagyis \(\displaystyle \sin\beta_n=-\sin(K\beta_n),\) a sebességek aránya pozitív, az ingák azonos irányba mozogva találkoznak.

Annak feltétele, hogy az ötödik találkozás legyen az első azonos irányba haladó::

\(\displaystyle \alpha_4<\beta_1<\alpha_5,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{7\pi}{K+1}<\frac{ \pi}{K-1}<\frac{9\pi}{K+1}.\)

Ebből következik, hogy \(\displaystyle \frac54<K<\frac43\). Amennyiben \(\displaystyle K>1{,}33\), akkor az ötödiknél hamarabb, \(\displaystyle K<1{,}25\) esetén pedig az ötödiknél később következik be az első ,,szembetalálkozás''. Mivel \(\displaystyle \ell_1/\ell_2=K^2\), a fonalak hosszának arányára a

\(\displaystyle \frac{25}{16}<\frac{\ell_1}{\ell_2}<\frac{16}9\)

megszorítást kapjuk.

II. megoldás. Mivel a harmonikus rezgőmozgás felfogható az egyenletes körmozgás vetületeként, a feladat átfogalmazható a következő módon: Egy \(\displaystyle R\) sugarú, kör alakú futópálya egyik átmérőjének két végpontjából elindul egy-egy futó, sebességük \(\displaystyle v\) és \(\displaystyle Kv\). Hol találkoznak, ha ugyanabban az irányban, illetve ha ellentétes irányban járják be a pályát?

Ellentétes körüljárás esetén a találkozás feltétele:

\(\displaystyle vt+Kvt=R\pi +(n-1)2R\pi=(2n-1)R\pi,\qquad (n=1,2,3,\ldots),\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{vt}{R}=\alpha_n=(2n-1)\frac{\pi}{K+1}.\)

A futók ilyenkor egymással szembe mozogva találkoznak.

Ha a futók ellentétes irányban indulnak el, akkor a találkozásuk feltétele:

\(\displaystyle Kvt=vt+R\pi +(n-1)2R\pi=vt+(2n-1)R\pi,\qquad (n=1,2,3,\ldots),\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{vt}{R}=\beta_n=(2n-1)\frac{\pi}{K-1}.\)

A futók ilyenkor azonos irányban mozogva találkoznak, az egyik ,,lehagyja'' a másikat.

A továbbiakban (az ingák hosszából kiszámítható) \(\displaystyle \frac{v}{R}=\omega_1=6{,}26~\frac{1}{\rm s}\) értéket felhasználva az I. megoldásban ismertetett eredményeket kapjuk.


Statistics:

29 students sent a solution.
5 points:Békési Ábel, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Rusvai Miklós, Viczián Anna.
4 points:Bokor Endre, Endrész Balázs, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Tóth Ábel, Vass Bence.
3 points:7 students.
2 points:6 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, January 2020