Problem P. 5189. (January 2020)
P. 5189. There is a small air bubble at the middle of a long cylinder-shaped tube, filled with glycerine. When the tube is held vertically, the air bubble is raising at a constant speed of 1 cm/s. Where will the air bubble stop in the tube when it is held horizontally and is accelerated along its symmetry axis to a final speed of 20 m/s? Where will the bubble move if the tube's speed is uniformly increased to 30 m/s, and where will it stop if the tube is ceased to move? (The short time intervals when the bubble starts and stops, and the retarding effect of the wall of the tube are negligible.)
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A buborék mozgását a glicerin (erősen viszkózus folyadék) áramlása közben fellépő belső súrlódási erők fékezik. Ez a fékező hatás arányos a buborék sebességével, a buborékot felfelé húzó erő (felhajtóerő) pedig arányos a nehézségi gyorsulással. Így az állandósult sebesség (amelyet a buborék az indulása után nagyon hamar elér):
\(\displaystyle v=-k\cdot g.\)
A megadott számadat szerint
\(\displaystyle k=-\frac{v}{g}=+\frac{1~\frac{\rm cm}{\rm s}}{9{,}8~\frac{\rm m}{\rm s^2}}\approx +0{,}001~\rm s.\)
(A fenti képletben a negatív előjel azt fejezi ki, hogy a buborék állandósult sebessége a nehézségi gyorsulással ellentétes irányú.)
Ha a csövet vízszintesen \(\displaystyle a\) gyorsulással gyorsítjuk, a csővel együtt mozgó megfigyelő számára a környezet olyan, mintha \(\displaystyle g'=-a\) nagyságú vízszintes ,,gravitációs gyorsulás'' is megjelenne a korábbi, függőlegesen lefelé mutató \(\displaystyle g\) mellett. Az emiatt kialakuló mozgásra igaz:
\(\displaystyle v(t)=-kg'(t)=+ka(t).\)
Ezek szerint
\(\displaystyle v(t)-ka(t)=\frac{\Delta x}{\Delta t}-k\frac{\Delta v}{\Delta t}=0,\)
azaz a buborék helyzetét megadó \(\displaystyle x(t)\) koordinátára igaz:
\(\displaystyle x(t)-kv(t)=K=\text{állandó}=0,\)
vagyis
\(\displaystyle x(t)=k v(t).\)
Ha a csövet vízszintesen \(\displaystyle v_1=20\) m/s sebességre gyorsítjuk (mondjuk jobbra), akkor a buborék elmozdulása a csőhöz képest, a cső sebességével megegyező irányban:
\(\displaystyle x_1=kv_1=2~\rm cm.\)
Ha a cső sebességét egyenletesen (vagy akár változó gyorsulással) \(\displaystyle v_2=30\) m/s-ra növeljük, a buborék elmozdulása 3 cm lesz, majd amikor a csövet lefékezik, akkor a buborék visszakerül az eredeti helyére, a cső közepére.
Statistics:
10 students sent a solution. 5 points: Békési Ábel, Bokor Endre, Dóra Márton, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Sas 202 Mór, Sepsi Csombor Márton. 4 points: Perényi Barnabás, Viczián Anna. 3 points: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, January 2020