Problem P. 5190. (January 2020)
P. 5190. The bottom end of a vertical, thin-walled glass tube has a shape of a hemisphere. The diameter of the tube is 10 cm. The tube is filled with water up to a height of 20 cm. 30 cm above the water level and along the axis of the tube there is a small light source.
\(\displaystyle a)\) Where should we place a screen in order to gain a sharp image of the light source?
\(\displaystyle b)\) What is the magnification?
(The refractive index of water is \(\displaystyle n= 4/3\).)
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. A fényforrás éles, fényes képét elsősorban a tengelyhez közel haladó (ún. paraxiális) fénysugarak hozzák létre. Ezen sugaraknak az optikai tengellyel bezárt szöge elegendően kicsiny ahhoz, hogy a szög szinuszát és a tangensét magával a szöggel (annak ívmértékben mért értékével) közelítsük. A továbbiakban csak a paraxiális fénysugarakkal fogunk foglalkozni.
1. ábra
Tekintsünk két különböző (\(\displaystyle n_1\) és \(\displaystyle n_2\)) törésmutatójú közeget, amelyet \(\displaystyle r\) sugarú gömbfelület választ el egymástól. Az \(\displaystyle n_1\) törésmutatójú közegben a határfelülettől \(\displaystyle t\) távolságra egy kicsiny tárgy (fényforrás) található, amelyből kiinduló fénysugarak az \(\displaystyle n_2\) törésmutatójú közegben \(\displaystyle k\) távolságban alkotnak képet. Az 1. ábrán látható jelölésekkel a törési törvényt alkalmazva megkaphatjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{n_1}{n_2}\left(\frac{t}{r}-1\right)\varepsilon=\frac{t}{k}\varepsilon+\frac{t}{r}\varepsilon,\)
ahonnan némi átalakítás után adódik az
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{n_1}{t} +\frac{n_2}{k}=\frac{n_1-n_2}{r}\) |
összefüggés. (Ez akkor igaz, ha a határfelület gömbjének középpontja az \(\displaystyle n_1\)-nek megfelelő oldalon helyezkedik el. Ellenkező esetben \(\displaystyle r\) helyébe \(\displaystyle -r\) írandó. Amennyiben a határfelület sík, ami felfogható \(\displaystyle r\rightarrow \infty\) sugarú gömbnek, akkor az \(\displaystyle 1/r\)-es tag helyébe nulla kerül.)
A 2. ábra jelöléseivel a törési törvényt alkalmazva kiszámíthatjuk, hogy
\(\displaystyle k \left(\frac{n_1}{n_2}-1\right)\frac{T}{r}=T+K,\)
ahonnan algebrai átalakítások után és (1)-et is felhasználva adódik, hogy a nagyítás:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{K}{T}=\frac{n_1}{n_2}\,\frac{k}{t}.\) |
2. ábra
Alkalmazzuk az (1) és (2) összefüggéseket az üvegcsőben lévő vízre először a felső, sík határon, majd a félgömbből kilépő fénysugarakra az üvegcső aljánál. Az első fénytörésnél
\(\displaystyle n_1=1, \quad n_2=n=\frac{4}{3}\qquad \text{és}\qquad t_1=30~{\rm cm},\)
így a fényforrás első képtávolsága (1) alapján:
\(\displaystyle k_1=-n\,t=-40~{\rm cm}.\)
A nagyítás:
\(\displaystyle N_1=\frac{1}{n}\,\frac{k_1}{t}=-1.\)
A kép a vízfelszín felett 40 cm-re jön létre, egyenes állású és látszólagos (virtuális).
A második képalkotásnál
\(\displaystyle t_1=20~{\rm cm}-k_1=60~{\rm cm},\quad n_1=n=\frac{4}{3}, \quad n_2=1 \qquad \text{és}\qquad r=5~{\rm cm}.\)
Ezeket (1) és (2)-be behelyettesítve adódik, hogy
\(\displaystyle k_2=22{,}5~{\rm cm}\qquad \text{és}\qquad N_2=\frac{1}{2}.\)
Az ernyőt tehát az üvegcső alja alá, attól 22,5 cm távolságra kell elhelyeznünk, és az ott létrejövő valódi, fordított állású kép nagyítása: \(\displaystyle \vert N_1N_2\vert = 0{,}5\).
II. megoldás. \(\displaystyle a)\) Ismert jelenség, hogy a vízben \(\displaystyle h\) mélységben lévő tárgyak fentről, a levegőből (majdnem függőlegesen) nézve felemelkedve látszanak: \(\displaystyle h\) helyett \(\displaystyle h/n\) mélységben lévőnek látjuk ezeket. (Sokat emlegetett példa az úszómedence alja, vagy egy vizesfazék feneke.) Mindez a tárgyon átmenő függőleges egyeneshez közeli fénysugarakra, paraxiális közelítésben igaz, amikor a fénytörés törvénye közelítőleg a \(\displaystyle \sin\alpha\approx \alpha=n\sin\beta\approx n\beta\) alakot ölti. (\(\displaystyle \alpha\) a beesési szög, \(\displaystyle \beta\) pedig a törési szög.)
Ennek megfelelően egy, a víz felett 30 cm-re lévő fényforrásról jövő fénysugarak a víz felületén megtörve úgy haladnak tovább, mintha \(\displaystyle n\)-szer magasabbról indultak volna ki, tehát jelen esetben a 30 cm-nek 4/3-szorosáról. Úgy érik el a leképező eszközt a cső alján, mintha 40+20=60 cm-ről jöttek volna, végig vízben.
Vágjuk el – gondolatban – az üvegcsövet és a benne lévő vizet az aljának közvetlen közelében egy vízszintes síkkal, és juttassunk a vágásba egy nagyon vékony levegőréteget. Ha nem gömb-, hanem síkfelület lenne az üvegcső alja, úgy lépnének ki a fénysugarak, mintha
\(\displaystyle t=\frac{h}{n} = \frac{60}{(4/3)} = 45~\rm cm\)
távolságból indultak volna el a levegőben.
Így találkoznak egy vékony sík-domború lencsével, amelynek
\(\displaystyle \frac{R}{n-1}= 15~\rm cm\)
a fókusztávolsága. A lencsetörvény szerint
\(\displaystyle \frac{1}{k}= \frac{1}{f}-\frac{1}{t}=\frac{1}{15~\rm cm}- \frac{1}{45~\rm cm}=\frac{2}{45~\rm cm},\)
vagyis a fényforrás a valódi kép \(\displaystyle k=22{,}5\) cm-re keletkezik a cső gömbölyű alja alatt.
\(\displaystyle b)\) A levegő-víz és a víz-levegő határon áthaladó fénysugarak nem változtatják meg a tárgy vízszintes méretét, a vízlencse viszont igen:
\(\displaystyle N=\frac{k}{t}=\frac{22{,}5~\rm cm}{45~\rm cm}=\frac{1}{2}\text{-szeres}\)
nagyítású (vagyis felére kicsinyített) képet állít elő.
Statistics:
6 students sent a solution. 5 points: Bokor Endre, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân. 4 points: Endrész Balázs. 3 points: 1 student. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, January 2020