Problem P. 5191. (January 2020)

P. 5191. Two samples of ideal gas, of the same amount, are taken through the cyclic processes shown in the figure. The figure shows the \(\displaystyle p\)\,–\,\(\displaystyle V\) diagram of processes \(\displaystyle 1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow1\), and \(\displaystyle 1\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow1\). If the working substance of two engines are the two samples of ideal gas taken through the above two cyclic processes, which engine has greater efficiency, and what is the relationship between the two efficiency values?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A gáz által végzett (hasznos) munka mindkét esetben ugyanannyi \(\displaystyle (W)\), ami a diagramon látható területekkel egyezik meg. Az I. körfolyamatban az \(\displaystyle 1\rightarrow2\) és a \(\displaystyle 2\rightarrow3\) állapotváltozások során vesz fel hőt a gáz, és a hatásfok

\(\displaystyle \eta_1=\frac{W}{Q {(1\rightarrow2)}+Q_(2\rightarrow3)}.\)

A II. körfolyamatban csak az \(\displaystyle 1\rightarrow3\) állapotváltozás során vesz fel hőt a gáz, így a hatásfok

\(\displaystyle \eta_2=\frac{W}{Q {(1\rightarrow3)}}.\)

Másrészt tudjuk, hogy

\(\displaystyle Q {(1\rightarrow2)}+Q(2\rightarrow3)+ Q(3\rightarrow1)=W, \)

hiszen egy teljes körfolyamat során a belső energia nem változik. Mivel \(\displaystyle Q(3\rightarrow1)=-Q(1\rightarrow3),\) teljesül, hogy

\(\displaystyle \frac{1}{\eta_1} -\frac{1}{\eta_2}=1,\)

vagyis \(\displaystyle \eta_1 < \eta_2\).

Annak ellenére, hogy külön-külön nem tudjuk kiszámítani a hatásfokokat, kifejezhetjük például a második körfolyamat hatásfokát az elsőével:

\(\displaystyle \eta_2 = \frac{\eta_1}{1 - \eta_1} .\)

Statistics:

27 students sent a solution.
5 points:	Bokor Endre, Fekete András Albert, Fülöp Sámuel Sihombing, Hartmann Alice, Sas 202 Mór, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Toronyi András, Vass Bence.
4 points:	Balázs 825 Ádám , Endrész Balázs, Fonyi Máté Sándor, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Rusvai Miklós, Szabados Noémi, Szász Levente, Viczián Anna.
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, January 2020