Problem P. 5192. (January 2020)
P. 5192. A mercury column confines an air column of height 40 cm and of temperature 300 K in a U-shaped tube, one end of which is closed, and which has a cross sectional area of \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}^2\), as it is shown in the figure. The external air pressure is the same as the gauge pressure of a 76 cm high mercury column.
Keeping the temperature of the enclosed gas constant, some mercury of volume \(\displaystyle V_0\) is poured into the tube such that the mercury levels in the two arms of the tube will be the same. Then if the enclosed air is heated we can observe that its pressure is proportional to its volume at any temperature. What is the volume \(\displaystyle V_0\)?
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mérjük a térfogatot \(\displaystyle \rm cm^3\), a levegőoszlop hosszát cm, a nyomást pedig Hgcm egységekben! Így a külső légnyomás \(\displaystyle p_0=76\), a gáz kezdeti térfogata pedig \(\displaystyle V_1=40\).
Legyen a keresett \(\displaystyle V_0\) térfogatú higany betöltése után a bezárt levegő hossza (térfogata) \(\displaystyle L^*\), a nyomása pedig 76 (Hgcm). Ha ezek után a hőmérséklet növelésével a higanyoszlop \(\displaystyle x\) centiméternyit elmozdul, akkor a térfogata
\(\displaystyle V(x)=L^*+x,\)
a nyomása pedig a \(\displaystyle 2x\) szintkülönbség miatt
\(\displaystyle p(x)=76+2x\)
lesz. Ha a bezárt gáz nyomása minden hőmérsékleten (bármilyen \(\displaystyle x\)-nél) arányos a térfogatával, akkor a
\(\displaystyle \frac{p(x)}{V(x)}\equiv\frac{2(38+x)}{L^*+x}\)
hányados nem függ \(\displaystyle x\)-től. Ez a feltétel akkor teljesül, ha \(\displaystyle L^*=38\) cm.
A kezdőállapotban a nyomás \(\displaystyle p_\text{kezdeti}\), a térfogat 40 volt, majd izotermikus összenyomás után a nyomás 76, a térfogat pedig 38 egység lett. A gáztörvény szerint
\(\displaystyle p_\text{kezdeti}=\frac{38\cdot 76}{40}=72{,}2.\)
Ez 3,8 Hgcm-rel kisebb, mint a \(\displaystyle p_0=76\)-os külső légnyomás, emiatt az U alakú cső jobb oldali (nyitott) szárában 3,8 cm-rel alacsonyabban áll a higany, mint a bal oldali (bezárt) szárban.
Most már válaszolhatunk az eredeti kérdésre. A cső jobb oldali szárába összesen
\(\displaystyle V_0=(2~{\rm cm}+3{,}8~{\rm cm}+2~{\rm cm}) \cdot (1~\rm cm^2)=7{,}8~\rm cm^3\)
higanyt kellett öntenünk, hogy a leírt tulajdonságú eszköz létrejöjjön. Az egyes lépéseket az alábbi (nem méretarányos) ábra szemlélteti.
Statistics:
24 students sent a solution. 5 points: Bekes Barnabás, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Perényi Barnabás, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Viczián Anna. 4 points: Györgyfalvai Fanni, Horváth 999 Anikó, Kertész Balázs, Kozaróczy Csaba, Szabados Noémi, Vass Bence. 2 points: 1 student. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, January 2020