Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5193. feladat (2020. január)

P. 5193. Hat darab ohmos ellenállást az ábrán látható módon forrasztottunk össze. Mekkora eredő ellenállás mérhető a \(\displaystyle 20~\Omega\)-os ellenállás végpontjai között?

(Lásd A hídkapcsolás eredő ellenállása és áramerősségei című cikket a KöMaL 2016. évi 2. számában vagy a honlapon.)

Közli: Légrádi Imre, Sopron

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.


I. megoldás. Az áramkör alsó három, deltakapcsolású (más néven: háromszög kapcsolású) ellenállását az 1. ábrán látható csillagkapcsolással helyettesíthetjük. A megfelelő helyettesítő értékek (lásd pl. a ,,Négyjegyű'' megfelelő képleteit) ohm egységekben:

\(\displaystyle r_1=\frac{11}{3} \approx 3{,}67; \quad r_2=\frac{77}{27} \approx 2{,}85; \quad r_3=\frac{7}{3} \approx 2{,}33. \)


1. ábra

A sorosan kapcsolt ellenállások eredője \(\displaystyle 9+r_2=11{,}85,\) illetve \(\displaystyle 5+r_3=7{,}33\) ohm, majd ennek a két értéknek a párhuzamos eredője \(\displaystyle \left(\frac{1}{11{,}85}+ \frac{1}{7{,}33}\right)^{-1}=4{,}53\) ohm. Ezzel sorosan kapcsolva \(\displaystyle r_1\)-t az eredőjük 8,20 ohm, majd ezzel párhuzamosan kötve a 20 ohmos ellenállást megkapjuk a keresett eredőt:

\(\displaystyle R_\text{eredő}= \left(\frac{1}{8{,}20}+ \frac{1}{20}\right)^{-1}=5{,}8~\Omega.\)

Ugyanezt az eredmény úgy is megkaphatjuk, hogy az ábra közepén látható csillagkapcsolást alakítjuk át háromszög kapcsolássá.

II. megoldás. A kapcsolás a 20 ohmos ellenállást és vele párhuzamosan egy hídkapcsolást tartalmaz (2. ábra). A hídkapcsolás eredőjét a hivatkozott cikk képleteit alkalmazva kiszámíthatjuk, majd ezzel párhuzamosan kapcsoljuk a \(\displaystyle 20~\Omega\)-os ellenállást.


2. ábra

A végeredmény:

\(\displaystyle R_\text{eredő}=\frac{42\,460}{7303}~\Omega\approx 5{,}8~\Omega.\)

Megjegyzés. Az eredő ellenállás értékének valódi tört alakban történő megadása azt a téves képet sugallja, hogy az a tört az eredmény ,,pontos'' értéke, míg a tizedes törttel megadott alak csak közelítés. Ez csak akkor lenne igaz, ha az egész számokkal megadott ellenállásnagyságok (\(\displaystyle 20~\Omega\), \(\displaystyle 11~\Omega\), \(\displaystyle 5~\Omega\) stb.) ,,végtelen pontos'' adatok lennének; de biztosan nem azok! Indokoltabb tehát az eredmény tizedes tört alakban történő megadása, annyi kiírt számjeggyel, amennyit a bemenő adatok megadott számjegyei alapján jogosnak vélhetünk.


Statisztika:

A P. 5193. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. januári fizika feladatai