Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5193. (January 2020)

P. 5193. Six ohmic resistors were soldered as shown in the figure. What is the equivalent resistance measured between the terminals of the \(\displaystyle 20~\Omega\) resistor?

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Az áramkör alsó három, deltakapcsolású (más néven: háromszög kapcsolású) ellenállását az 1. ábrán látható csillagkapcsolással helyettesíthetjük. A megfelelő helyettesítő értékek (lásd pl. a ,,Négyjegyű'' megfelelő képleteit) ohm egységekben:

\(\displaystyle r_1=\frac{11}{3} \approx 3{,}67; \quad r_2=\frac{77}{27} \approx 2{,}85; \quad r_3=\frac{7}{3} \approx 2{,}33. \)


1. ábra

A sorosan kapcsolt ellenállások eredője \(\displaystyle 9+r_2=11{,}85,\) illetve \(\displaystyle 5+r_3=7{,}33\) ohm, majd ennek a két értéknek a párhuzamos eredője \(\displaystyle \left(\frac{1}{11{,}85}+ \frac{1}{7{,}33}\right)^{-1}=4{,}53\) ohm. Ezzel sorosan kapcsolva \(\displaystyle r_1\)-t az eredőjük 8,20 ohm, majd ezzel párhuzamosan kötve a 20 ohmos ellenállást megkapjuk a keresett eredőt:

\(\displaystyle R_\text{eredő}= \left(\frac{1}{8{,}20}+ \frac{1}{20}\right)^{-1}=5{,}8~\Omega.\)

Ugyanezt az eredmény úgy is megkaphatjuk, hogy az ábra közepén látható csillagkapcsolást alakítjuk át háromszög kapcsolássá.

II. megoldás. A kapcsolás a 20 ohmos ellenállást és vele párhuzamosan egy hídkapcsolást tartalmaz (2. ábra). A hídkapcsolás eredőjét a hivatkozott cikk képleteit alkalmazva kiszámíthatjuk, majd ezzel párhuzamosan kapcsoljuk a \(\displaystyle 20~\Omega\)-os ellenállást.


2. ábra

A végeredmény:

\(\displaystyle R_\text{eredő}=\frac{42\,460}{7303}~\Omega\approx 5{,}8~\Omega.\)

Megjegyzés. Az eredő ellenállás értékének valódi tört alakban történő megadása azt a téves képet sugallja, hogy az a tört az eredmény ,,pontos'' értéke, míg a tizedes törttel megadott alak csak közelítés. Ez csak akkor lenne igaz, ha az egész számokkal megadott ellenállásnagyságok (\(\displaystyle 20~\Omega\), \(\displaystyle 11~\Omega\), \(\displaystyle 5~\Omega\) stb.) ,,végtelen pontos'' adatok lennének; de biztosan nem azok! Indokoltabb tehát az eredmény tizedes tört alakban történő megadása, annyi kiírt számjeggyel, amennyit a bemenő adatok megadott számjegyei alapján jogosnak vélhetünk.


Statistics:

37 students sent a solution.
4 points:Balogh Dávid, Endrész Balázs, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fiam Regina, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hamar Dávid, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Kotán Tamás, Kovács Kristóf, Ludányi Levente, Németh Kristóf, Nguyễn Đức Anh Quân, Rusvai Miklós, Takács Dóra, Tóth Ábel, Varga Vázsony, Vass Bence.
3 points:Balázs 825 Ádám , Bonifert Balázs, Horváth Antal, Jánosik Máté, Kozák Gergely, Páhán Anita Dalma, Perényi Barnabás, Schäffer Bálint, Sepsi Csombor Márton, Szász Levente, Török 111 László.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Physics of KöMaL, January 2020