Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5194. feladat (2020. január)

P. 5194. Tekintsünk két azonos méretű, de a köztük lévő 0,2 m távolsághoz képest kicsiny fémgömböt! A két gömbnek különböző töltése van, és 1,2 N erővel vonzzák egymást. A gömböket összeérintjük, majd visszahelyezzük őket az eredeti helyükre. Azt találjuk, hogy most taszítják egymást, de az erő nagysága az előzővel azonos. Mennyi volt a fémgömbök eredeti töltése?

Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.


Jelöljük a fémgömbök eredeti töltését \(\displaystyle Q_1\)-gyel és \(\displaystyle Q_2\)-vel, az összeérintésük utáni töltésüket pedig \(\displaystyle Q_0\)-lal. (A gömbök egyforma mérete miatt a fémgömbök töltése egyenlő nagyságú lesz.) Nyilván \(\displaystyle Q_1+Q_2=2Q_0\).

Az egyforma töltésű, egymástól \(\displaystyle d\) távolságra lévő töltések közötti \(\displaystyle F\) taszítóerőre felírhatjuk a Coulomb-törvényt:

\(\displaystyle F=k\frac{Q_0^2}{d^2},\)

ahonnan

\(\displaystyle Q_0=\pm \sqrt{\frac{Fd^2}{k}} =\pm \sqrt{ \frac{\left(1{,}2~\rm N\right)\, \left(0{,}2~{\rm m}\right)^2} {9\cdot10^9~\frac{\rm N\,m^2}{\rm C^2}}} =\pm 2{,}3\cdot 10^{-6}~\rm C. \)

Keressük a kezdeti töltéseket

\(\displaystyle Q_1=(1+x)Q_0 \qquad \text{és} \qquad Q_1=(1-x)Q_0\)

alakban. Az erők nagyságának egyenlősége miatt

\(\displaystyle Q_1Q_2=-Q_0^2 \qquad \text{vagyis} \qquad (1+x)(1-x)=-1.\)

Innen

\(\displaystyle 1-x^2 =-1, \qquad \text{azaz} \qquad x=\pm \sqrt{2}.\)

A feladat megoldásai tehát:

\(\displaystyle Q_1=+5{,}58~\mu\rm C, \qquad Q_2=-1{,}0~\mu\rm C; \)

\(\displaystyle Q_1=-5{,}58~\mu\rm C, \qquad Q_2=+1{,}0~\mu\rm C; \)

\(\displaystyle Q_1=-1{,}0~\mu\rm C, \qquad Q_2=+5{,}58~\mu\rm C; \)

\(\displaystyle Q_1=+1{,}0~\mu\rm C, \qquad Q_2=-5{,}58~\mu\rm C; \)

Ezek csak a töltések előjelében térnek el egymástól, illetve a fémgömbök számozásában különböznek, tehát mind a négy eset – lényegében – ugyanannak a töltéseloszlásnak felel meg.


Statisztika:

A P. 5194. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. januári fizika feladatai