Problem P. 5194. (January 2020)

P. 5194. Consider two metal spheres of the same size, which is small compared to the 0.2 m distance between them. The two spheres are charged differently and they attract each other with a force of 1.2 N. The spheres are made to touch each other and then placed back to their original position. Now they repel each other, but the magnitude of this repulsive force is the same as the magnitude of the attractive force in the first case. What was the initial charge of the spheres?

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a fémgömbök eredeti töltését \(\displaystyle Q_1\)-gyel és \(\displaystyle Q_2\)-vel, az összeérintésük utáni töltésüket pedig \(\displaystyle Q_0\)-lal. (A gömbök egyforma mérete miatt a fémgömbök töltése egyenlő nagyságú lesz.) Nyilván \(\displaystyle Q_1+Q_2=2Q_0\).

Az egyforma töltésű, egymástól \(\displaystyle d\) távolságra lévő töltések közötti \(\displaystyle F\) taszítóerőre felírhatjuk a Coulomb-törvényt:

\(\displaystyle F=k\frac{Q_0^2}{d^2},\)

ahonnan

\(\displaystyle Q_0=\pm \sqrt{\frac{Fd^2}{k}} =\pm \sqrt{ \frac{\left(1{,}2~\rm N\right)\, \left(0{,}2~{\rm m}\right)^2} {9\cdot10^9~\frac{\rm N\,m^2}{\rm C^2}}} =\pm 2{,}3\cdot 10^{-6}~\rm C. \)

Keressük a kezdeti töltéseket

\(\displaystyle Q_1=(1+x)Q_0 \qquad \text{és} \qquad Q_1=(1-x)Q_0\)

alakban. Az erők nagyságának egyenlősége miatt

\(\displaystyle Q_1Q_2=-Q_0^2 \qquad \text{vagyis} \qquad (1+x)(1-x)=-1.\)

Innen

\(\displaystyle 1-x^2 =-1, \qquad \text{azaz} \qquad x=\pm \sqrt{2}.\)

A feladat megoldásai tehát:

\(\displaystyle Q_1=+5{,}58~\mu\rm C, \qquad Q_2=-1{,}0~\mu\rm C; \)

\(\displaystyle Q_1=-5{,}58~\mu\rm C, \qquad Q_2=+1{,}0~\mu\rm C; \)

\(\displaystyle Q_1=-1{,}0~\mu\rm C, \qquad Q_2=+5{,}58~\mu\rm C; \)

\(\displaystyle Q_1=+1{,}0~\mu\rm C, \qquad Q_2=-5{,}58~\mu\rm C. \)

Ezek csak a töltések előjelében térnek el egymástól, illetve a fémgömbök számozásában különböznek, tehát mind a négy eset – lényegében – ugyanannak a töltéseloszlásnak felel meg.

Statistics:

46 students sent a solution.
4 points:	Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bonifert Balázs, Dékány Csaba, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Györgyfalvai Fanni, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Németh Kristóf, Nguyễn Đức Anh Quân, Páhán Anita Dalma, Perényi Barnabás, Selmi Bálint, Sepsi Csombor Márton, Toronyi András, Török 111 László, Varga Vázsony, Vass Bence.
3 points:	Balázs 825 Ádám , Csécsi Marcell, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Jánosik Máté, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Kozaróczy Csaba, Répási Tamás, Schäffer Bálint, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Szász Levente, Tanner Norman, Téglás Panna.
2 points:	8 students.
1 point:	4 students.

Problems in Physics of KöMaL, January 2020