Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5195. (January 2020)

P. 5195. At each vertex of an equilateral triangle of sides \(\displaystyle a=60\) cm there is a point-like charge of \(\displaystyle Q=6\cdot 10^{-7}\) C in vacuum. What is the magnitude and the direction of the electric field at the trisection points of the sides of the triangle?

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit!

A kérdéses pont és a háromszög csúcspontjainak távolsága:

\(\displaystyle d_1=\frac13a; \qquad d_2=\frac23a;\qquad d_3=\frac{\sqrt{7}}3a.\)

(\(\displaystyle d_3\)-t pl. a koszinusztétel segítségével kaphatjuk meg.)

Az egyes töltések által létrehozott elektromos térerősség nagysága \(\displaystyle E_i=k\frac{Q}{d_i^2}\), vagyis

\(\displaystyle E_1= 13{,}48\cdot10^4~ \frac{\rm V}{\rm m}, \qquad E_2= 3{,}37\cdot10^4~ \frac{\rm V}{\rm m}, \qquad E_3= 1{,}93\cdot10^4~ \frac{\rm V}{\rm m}. \)

Az ábrán jelölt \(\displaystyle \gamma\) szög ugyancsak a koszinusztétel segítségével:

\(\displaystyle \cos\gamma=\frac{1}{2\sqrt{7}}\approx 0{,}188 \qquad \Rightarrow \qquad \gamma\approx 79{,}1^\circ.\)

Az eredő térerősség (ismét a koszinusztétel felhasználásával):

\(\displaystyle E_\text{eredő}=\sqrt{(E_1-E_2)^2+E_3^2-2(E_1-E_2)E_3\cos\gamma}\approx 1{,}0\cdot10^4~\frac{\rm V}{\rm m}.\)

Az eredő térerősség-vektor irányát pl. a háromszög oldalharmadoló pontját tartalmazó élével bezárt \(\displaystyle \alpha\) szöggel adhatjuk meg, felhasználva a szinusztételt:

\(\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}=\frac{E_3}{E_1-E_2} \qquad \Rightarrow \qquad \alpha\approx 10{,}8^\circ.\)


Statistics:

40 students sent a solution.
4 points:Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bohács Tamás, Bonifert Balázs, Csécsi Marcell, Endrész Balázs, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fiam Regina, Hartmann Alice, Horváth Antal, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Kozaróczy Csaba, Ludányi Levente, Németh Kristóf, Páhán Anita Dalma, Schäffer Bálint, Sepsi Csombor Márton, Somlán Gellért, Takács Dóra, Tanner Norman, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony, Vass Bence.
3 points:Fülöp Sámuel Sihombing, Györgyfalvai Fanni, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Kalmár Dóra, Magyar Gábor Balázs, Selmi Bálint, Szabó 314 László, Török 111 László.
2 points:4 students.
1 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, January 2020