Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5196. feladat (2020. január)

P. 5196. Egy rakéta a hajtóművének működése közben csak a kiáramló gázsugárra ,,támaszkodhat''. A hajtóanyag energiájának jelentős részét a kiáramló gázok viszik magukkal, a rakéta mozgási energiájának növelésére a felszabaduló energia kisebb hányada jut.

\(\displaystyle a)\) Határozzuk meg, hogy mekkora \(\displaystyle \Delta v\) értékkel nő a rakéta sebessége, ha az \(\displaystyle M\) tömegű rakétából valamennyi idő alatt egy kicsiny \(\displaystyle \Delta M\) tömegű gáz áramlik ki hátrafelé, a rakétához képest \(\displaystyle u\) sebességgel! (A gravitációs erőt itt és a továbbiakban elhanyagoljuk.)

\(\displaystyle b)\) Mekkora lesz az \(\displaystyle M_0\) tömeggel induló rakéta sebessége, amikor a tömege már \(\displaystyle M\) \(\displaystyle (M<M_0)\) értékre csökken?

Útmutatás: felhasználhatjuk, hogy

\(\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{x}\, \mathrm{d}x=\ln \frac{x_2}{x_1}. \)

\(\displaystyle c)\) Mekkora az \(\displaystyle M\) tömegű rakéta és a kiáramlott gázok összes mozgási energiája az indulási vonatkoztatási rendszerben?

Útmutatás: felhasználhatjuk, hogy a kiáramlott gázokból és a rakétából álló teljes rendszer mozgási energiájának megváltozása független a vonatkoztatási rendszertől, így pl. a rakétával együtt mozgó rendszerben is ugyanakkora, mint az indulási vonatkoztatási rendszerben.

\(\displaystyle d)\) Legfeljebb mekkora lehet a rakétameghajtás ,,mechanikai hatásfoka'', vagyis a rakéta mozgási energiájának és az összes mozgási energiának a hányadosa az indítási vonatkoztatási rendszerben?

Némedi István (1932–1998) feladata

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.


\(\displaystyle a)\) A lendületmegmaradás törvénye szerint

\(\displaystyle (M-\Delta M)(v+\Delta v)+(v-u)\Delta M=Mv,\)

ahonnan (a másodrendűen kicsi \(\displaystyle \Delta M\cdot \Delta v\) kifejezés elhanyagolása után)

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle u\frac{\Delta M}{M}=\Delta v. \)

\(\displaystyle b)\) Az (1) összefüggéseket összegezve a rakéta pillanatnyi (\(\displaystyle M\) tömeghez tartozó) sebességére a

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle v(M)=u\sum \frac{\Delta M}{M}\approx \int_{M}^{M_0} \frac{1}{M}\,{\rm d}M=u\ln\frac{M_0}{M} \)

összefüggés adódik. Ezt az egyenletet, amely az idealizált (gravitáció és légellenállás nélküli) rakétamozgás alapképlete, Ciolkovszkij-egyenletnek nevezik.

\(\displaystyle c)\) A rakétából és a kiáramló gázokból álló rendszer összes mozgási energiájának megváltozása az indulási (földi) vonatkoztatási rendszerben ugyanakkora, mint bármelyik másik (a Földhöz képest \(\displaystyle v_0\) sebességgel mozgó) rendszerben:

\(\displaystyle \Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_i(v_i-v_0)^2\right)=\Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2\right) -v_0\cdot \Delta\left(\sum_i m_iv_i\right)+ \frac{1}{2}v_0^2\cdot \Delta \left(\sum_im_i\right). \)

A jobb oldal második összege a lendületmegmaradás, a harmadik pedig a tömegmegmaradás törvénye szerint állandó (vagyis a megváltozásuk nulla), így valóban fennáll, hogy

\(\displaystyle \Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_i(v_i-v_0)^2\right)=\Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2\right).\)

A teljes (zárt) rendszer egyes részeinek energiaváltozása függ a vonatkoztatási rendszer megválasztásától. Ha például a rakéta pillanatnyi nyugalmi rendszerében számoljuk ki a mozgási energia kicsiny megváltozását, ez a rakétára nézve \(\displaystyle \Delta v^2\)-tel arányos, tehát első (lineáris) közelítésben nulla. A kiáramló gázok mozgási energiájának megváltozása ebben a rendszerben

\(\displaystyle \Delta E^\text{(gázok)}=\Delta M\cdot \frac{u^2}{2},\)

az összes mozgási energia változása tehát

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle \Delta E^\text{(összes)}=\sum\Delta E^\text{(gázok)}=\frac{1}{2}\left(M_0-M\right)u^2.\)

\(\displaystyle d)\) A rakétahajtás mechanikai hatásfoka (az indulástól a \(\displaystyle v(M)\) sebességet elérő állapotig) a (2) és (3) összefüggések felhasználásával:

\(\displaystyle \eta=\frac{E^\text{(rakéta)}}{E^\text{(összes)}}=\frac{\frac{1}{2}Mv^2(M)}{\frac{1}{2}(M_0-M)u^2}=\frac{\ln^2(M_0/M)}{M_0/M-1}.\)

Látható, hogy \(\displaystyle \eta\) csak a \(\displaystyle k=M/M_0\) tömegaránytól függ. Induláskor (\(\displaystyle k\approx 1\) esetben, amikor a rakétának még nagy a tömege, de kicsi a sebessége) a hatásfok nagyon kicsi: \(\displaystyle \eta\approx k-1\). Ugyancsak kicsi (nullához tart) a hatásfok akkor, amikor a rakéta tömege már sokkal kisebb, mint az induló tömeg, jóllehet a rakéta sebessége ilyenkor már nagy. Az \(\displaystyle \eta(k)\) függvénynek \(\displaystyle k\approx 0{,}203\)-nál van maximuma, és a maximum értéke 0,647.

A rakétahajtás mechanikai hatásfoka tehát nem lehet nagyobb, mint kb. 65 százalék.


Statisztika:

A P. 5196. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. januári fizika feladatai