Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem P. 5196. (January 2020)

P. 5196. A rocket engine uses the thrust obtained from the ejected exhaust. The greatest part of the energy of the propellant is the energy of the ejected exhaust, and only a small portion is converted to increase the kinetic energy of the rocket.

$\displaystyle a)$ Determine the speed increase $\displaystyle \Delta v$ of the rocket of mass $\displaystyle M$, when during some time a small amount of gas of mass $\displaystyle \Delta M$ is ejected backward at a speed of $\displaystyle u$ with respect to the rocket. (The gravitational force can be neglected in this case and in the further cases as well.)

$\displaystyle b)$ What will the speed of the rocket of initial mass $\displaystyle M_0$ be, when its mass decreases to $\displaystyle M$ $\displaystyle (M<M_0)$?

Hint: we can use that

$\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{x}\, \mathrm{d}x=\ln \frac{x_2}{x_1}.$

$\displaystyle c)$ What is the total kinetic energy of the rocket of mass $\displaystyle M$ and the ejected gas particles with respect to the reference frame of the departure?

Hint: we can use that the change in the kinetic energy of the whole system of the ejected gas and the rocket is independent of the reference frame; so it is the same in the reference frame of the moving rocket and in the reference frame of the departure.

$\displaystyle d)$ At most what can the mechanical efficiency'' of the rocket be? The mechanical efficiency is the ratio of the kinetic energy of the rocket to the total kinetic energy of the system in the reference frame of the departure.

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. $\displaystyle a)$ A lendületmegmaradás törvénye szerint

$\displaystyle (M-\Delta M)(v+\Delta v)+(v-u)\Delta M=Mv,$

ahonnan (a másodrendűen kicsi $\displaystyle \Delta M\cdot \Delta v$ kifejezés elhanyagolása után)

 $\displaystyle (1)$ $\displaystyle u\frac{\Delta M}{M}=\Delta v.$

$\displaystyle b)$ Az (1) összefüggéseket összegezve a rakéta pillanatnyi ($\displaystyle M$ tömeghez tartozó) sebességére a

 $\displaystyle (2)$ $\displaystyle v(M)=u\sum \frac{\Delta M}{M}\approx \int_{M}^{M_0} \frac{1}{M}\,{\rm d}M=u\ln\frac{M_0}{M}$

összefüggés adódik. Ezt az egyenletet, amely az idealizált (gravitáció és légellenállás nélküli) rakétamozgás alapképlete, Ciolkovszkij-egyenletnek nevezik.

$\displaystyle c)$ A rakétából és a kiáramló gázokból álló rendszer összes mozgási energiájának megváltozása az indulási (földi) vonatkoztatási rendszerben ugyanakkora, mint bármelyik másik (a Földhöz képest $\displaystyle v_0$ sebességgel mozgó) rendszerben:

$\displaystyle \Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_i(v_i-v_0)^2\right)=\Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2\right) -v_0\cdot \Delta\left(\sum_i m_iv_i\right)+ \frac{1}{2}v_0^2\cdot \Delta \left(\sum_im_i\right).$

A jobb oldal második összege a lendületmegmaradás, a harmadik pedig a tömegmegmaradás törvénye szerint állandó (vagyis a megváltozásuk nulla), így valóban fennáll, hogy

$\displaystyle \Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_i(v_i-v_0)^2\right)=\Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2\right).$

A teljes (zárt) rendszer egyes részeinek energiaváltozása függ a vonatkoztatási rendszer megválasztásától. Ha például a rakéta pillanatnyi nyugalmi rendszerében számoljuk ki a mozgási energia kicsiny megváltozását, ez a rakétára nézve $\displaystyle \Delta v^2$-tel arányos, tehát első (lineáris) közelítésben nulla. A kiáramló gázok mozgási energiájának megváltozása ebben a rendszerben

$\displaystyle \Delta E^\text{(gázok)}=\Delta M\cdot \frac{u^2}{2},$

az összes mozgási energia változása tehát

 $\displaystyle (3)$ $\displaystyle \Delta E^\text{(összes)}=\sum\Delta E^\text{(gázok)}=\frac{1}{2}\left(M_0-M\right)u^2.$

$\displaystyle d)$ A rakétahajtás mechanikai hatásfoka (az indulástól a $\displaystyle v(M)$ sebességet elérő állapotig) a (2) és (3) összefüggések felhasználásával:

$\displaystyle \eta=\frac{E^\text{(rakéta)}}{E^\text{(összes)}}=\frac{\frac{1}{2}Mv^2(M)}{\frac{1}{2}(M_0-M)u^2}=\frac{\ln^2(M_0/M)}{M_0/M-1}.$

Látható, hogy $\displaystyle \eta$ csak a $\displaystyle k=M/M_0$ tömegaránytól függ. Induláskor ($\displaystyle k\approx 1$ esetben, amikor a rakétának még nagy a tömege, de kicsi a sebessége) a hatásfok nagyon kicsi: $\displaystyle \eta\approx k-1$. Ugyancsak kicsi (nullához tart) a hatásfok akkor, amikor a rakéta tömege már sokkal kisebb, mint az induló tömeg, jóllehet a rakéta sebessége ilyenkor már nagy. Az $\displaystyle \eta(k)$ függvénynek $\displaystyle k\approx 0{,}203$-nál van maximuma, és a maximum értéke 0,647.

A rakétahajtás mechanikai hatásfoka tehát nem lehet nagyobb, mint kb. 65 százalék.

### Statistics:

 8 students sent a solution. 6 points: Bokor Endre, Tóth Ábel. 4 points: 2 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student.

Problems in Physics of KöMaL, January 2020