Problem P. 5197. (February 2020)

P. 5197. As a present, Winnie-the-Pooh was given a sphere-shaped balloon of radius 20 cm. The balloon was filled with helium such that when Winnie-the-Pooh released its thread, it just floated in the air, so it neither rose up nor sank.

Winnie-the-Pooh was so happy that he began to scamper around in a circle with the balloon such that he held the end of the thread of the balloon in his hand. The balloon executed uniform circular motion. Piglet observed that whatever Winnie-the Pooh's constant angular speed was the thread of the balloon always had an angle of \(\displaystyle 45^\circ\) with the tangent of the circular path of the balloon.

What was the radius of the path of the balloon? (Neglect the weight of the thread and the incidental changes in the shape of the balloon.)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle r\) sugarú lufi és a benne lévő hélium \(\displaystyle m\) össztömege megegyezik a kiszorított levegő tömegével, hiszen lebeg a levegőben. Tehát

\(\displaystyle m=\frac{4r^3\pi}{3}\varrho_\text{levegő}.\)

Ha a lufit a fonálnál fogva \(\displaystyle R\) sugarú körpályán \(\displaystyle v\) sebességgel mozgatjuk, akkor a fonálerő sugár irányú komponense

\(\displaystyle F_1=\frac{mv^2}{R}=\frac{4r^3\pi v^2}{3R}\varrho_\text{levegő},\)

érintő irányú komponense pedig a közegellenállási erővel megegyező

\(\displaystyle F_2=\frac{c}{2}\,\left(r^2\pi\right)\,v^2 \varrho_\text{levegő}\)

nagyságú. (\(\displaystyle c\approx 0{,}45\) a gömb közegellenállási alaktényezője.)

Mivel a fonál mindig \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zár be a kör érintőjével, \(\displaystyle F_1=F_2\) teljesül, ahonnan a körpálya sugara:

\(\displaystyle R=\frac{8r}{3c}\approx 1{,}2~\rm m.\)

Érdekes, hogy \(\displaystyle R\) nem függ sem a lufi sebességétől, sem a közeg (a levegő) sűrűségétől.

Megjegyzés. A közegellenállási erő lényegében abból származik, hogy a lufi mozgatása közben a közelében lévő (nagyjából a lufi térfogatával megegyező mennyiségű) levegőt is mozgásba kell hoznunk, és a megmozgatott levegő sebessége \(\displaystyle v\) nagyságrendű. (A ,,nagyjából'' és a ,,nagyságrendű'' kifejezések pontosítását az alaktényezőtől várhatjuk.)

A fenti megoldásban a centripetális erő kiszámításánál csak a lufi lendületének irányváltozását vettük figyelembe, a lufi által megmozgatott levegő hatásával nem törődtünk. Egy egyenes mentén gyorsított testnél a környező levegő hatása úgy jelentkezik, mintha a test ún. ,,effektív tömege'' (az a tömeg, ami a Newton-egyenletben szerepel) a valóságos értékénél nagyobb lenne, a különbség kb. a kiszorított levegő tömegével egyezik meg. Az a kérdés, hogy vajon az effektív tömeges leírásmód a körmozgásnál is alkalmazható-e (vagyis a centripetális erő képletébe is valamekkora effektív tömeget kell-e írnunk) lényegesen meghaladja a középiskolai fizika szintjét, ezért ennek tárgyalását – természetesen – nem várjuk el a KöMaL megoldóitól sem.

Statistics:

31 students sent a solution.
5 points:	Békési Ábel, Bonifert Balázs, Dóra Márton, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Pálfi Fanni, Sas 202 Mór, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Szász Levente, Szoboszlai Szilveszter, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony, Vass Bence, Viczián Anna.
4 points:	Bokor Endre, Hamar Dávid, Magyar Gábor Balázs, Pálfi Fruzsina Karina.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2020