Problem P. 5198. (February 2020)

P. 5198. There is a prism-shaped object of mass \(\displaystyle M\) on a horizontal smooth surface. One end of a light spring of spring constant \(\displaystyle D\) is attached to the prism such that the spring is parallel to the symmetry axis of the prism, whilst the other end is fixed to a disc-shaped bumper of negligible mass. Another object of mass \(\displaystyle m\), sliding at a speed of \(\displaystyle v_0\), collides with the bumper such that it partly compresses the long enough spring.

\(\displaystyle a)\) What is the speed of the centre of mass of the system?

\(\displaystyle b)\) Starting the stopwatch at the moment when the object touches the bumper first, how much time elapses until the spring becomes the shortest?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. \(\displaystyle a)\) A két testből álló rendszer össztömege \(\displaystyle m+M\), összes lendülete \(\displaystyle mv_0\), tehát a rendszer tömegközéppontjának sebessége

\(\displaystyle v_\text{tkp}=\frac{m}{m+M}\,v_0.\)

\(\displaystyle b)\) A rugó összenyomódása (a ,,puha ütközés'') során a tömegközéppont sebessége mindvégig állandó marad, hiszen a rendszerre nem hat vízszintes irányú külső erő. A tömegközépponthoz rögzített vonatkoztatási rendszerben az \(\displaystyle m\) tömegű test kezdősebessége

\(\displaystyle v_m=v_0-v_\text{tkp}=\frac{M}{m+M}v_0,\)

az \(\displaystyle M\) tömegű hasáb kezdősebessége pedig

\(\displaystyle v_M=0-v_\text{tkp}=-\frac{m}{m+M}v_0.\)

(A sebességeket a kitűzési ábrán bejelölt (balról jobbra mutató) irányban tekintjük pozitívnak.) Nyilván fennáll, hogy \(\displaystyle mv_m+Mv_M=0\), hiszen ebben a vonatkoztatási rendszerben a tömegközéppont nem mozog, az összes lendület tehát nulla.

Az ütközés során a rugónak az a pontja, amelyik az \(\displaystyle m\) tömegű testhez \(\displaystyle M/m\)-szer közelebb van, mint a \(\displaystyle M\) tömegű testtől mért távolsága, a rugó összenyomódása során mozdulatlan marad, tehát tekinthetjük akár rögzített pontnak. A rugót tehát gondolatban feloszthatjuk két részre, melyek rugóállandója \(\displaystyle D_m\) és \(\displaystyle D_M\), és ,,sorba vannak kapcsolva''. Ha az egész rugót \(\displaystyle F\) erő nyomja, akkor a teljes összenyomódása \(\displaystyle \Delta \ell=F/D.\) Ugyanakkor a \(\displaystyle m\) tömegű testhez közelebbi rugódarab összenyomódása csak

\(\displaystyle \Delta \ell_m= \frac{M}{m+M}\Delta \ell=F\, \frac{M}{D(m+M)}=\frac{F}{D_m}.\)

Leolvashatjuk, hogy

\(\displaystyle D_m=\frac{m+M}{M}D,\)

és hasonló módon

\(\displaystyle D_M=\frac{m+M}{m}D.\)

Az ütközés úgy zajlik le, mintha az \(\displaystyle m\) tömegű test egy rögzített végpontú, \(\displaystyle D_m\) rugóállandójú rugót nyomna össze, illetve a \(\displaystyle M\) tömegű test mozgását egy \(\displaystyle D_M\) rugóállandójú rugó fékezi. Mindkét test rezgésidejének periódusideje

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D_m}}=2\pi\sqrt{\frac{M}{D_M}}=2\pi\sqrt{\frac{mM}{m+M}\cdot \frac{1}{D}},\)

a megállásukig (vagyis a rugó maximális összenyomódásáig)

\(\displaystyle T_0=\frac{T}{4}= \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{mM}{m+M}\cdot \frac{1}{D}}\)

idő telik el.

II. megoldás. Jelöljük a rugó összenyomódási szakaszában a testek pillanatnyi helyét \(\displaystyle x_m\)-mel és \(\displaystyle x_M\)-mel, a megfelelő pillanatnyi gyorsulásokat pedig \(\displaystyle a_m\) és \(\displaystyle a_M\) módon. A Newton-féle mozgásegyenletek:

\(\displaystyle m\,a_m=-D\left(x_m-x_M\right),\)

\(\displaystyle M\,a_M=+D\left(x_m-x_M\right).\)

Szorozzuk meg a első egyenletet \(\displaystyle M\)-mel, a másodikat \(\displaystyle m\)-mel, és vonjuk ki a két egyenletet egymásból:

\(\displaystyle mM\left(a_m-a_M\right)=-D(m+M)\left(x_m-x_M\right).\)

Látható, hogy a két test \(\displaystyle a = a_m - a_M\) relatív gyorsulására és \(\displaystyle x=x_m-x_M\) távolságára vonatkozó

\(\displaystyle \frac{mM}{m+M}a=-Dx\)

mozgásegyenlet ugyanolyan alakú, mint egyetlen, \(\displaystyle D\) rugóállandójú rugó végén harmonikus rezgőmozgást végző \(\displaystyle \frac{mM}{m+M}\) tömegű test mozgásegyenlete. A rugó összenyomódásának ideje tehát

\(\displaystyle T_0=\frac{T}{4}= \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{mM}{m+M}\cdot \frac{1}{D}}.\)

(Az \(\displaystyle \frac{mM}{m+M} \) mennyiséget a két testből álló rendszer redukált tömegének nevezik.)

Statistics:

27 students sent a solution.
5 points:	Békési Ábel, Bonifert Balázs, Fekete Levente, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Somlán Gellért, Szabados Noémi, Szabó 314 László, Szász Levente, Téglás Panna, Viczián Anna.
4 points:	Bokor Endre, Endrész Balázs, Hamar Dávid, Horváth 127 Ádám, Nagy 414 Soma, Selmi Bálint.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2020