Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5201. feladat (2020. február)

P. 5201. Az ábrán látható elrendezésben a rugók direkciós ereje \(\displaystyle D= 1000\) N/m, a külső légnyomás \(\displaystyle p_0= 10^5\) Pa, és az \(\displaystyle A=10~{\rm dm}^2\) keresztmetszetű dugattyú által elzárt gáz egyatomos. Kezdetben a rugók nyújtatlanok, ekkor a gáz térfogata \(\displaystyle V_0=50\) liter. Mennyit mozdul el a dugattyú, ha a gázzal \(\displaystyle Q=2~\rm kJ\) hőt közlünk? (A tartály fala és a dugattyú hőszigetelő, a súrlódás és a fűtőszál hőkapacitása elhanyagolható.)

Közli: Berke Martin, Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimnázium

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöljük a dugattyú elmozdulását \(\displaystyle x\)-szel, a tartályét pedig \(\displaystyle y\)-nal. A rugókban ekkor \(\displaystyle Dx\) és \(\displaystyle Dy\) erő ébred. Egyensúlyban a rendszerre ható külső erők eredője nulla, vagyis \(\displaystyle y=x\) teljesül.

A gáz térfogata \(\displaystyle V_0\)-ról

\(\displaystyle V(x)=V_0+2xA \)

értékre növekszik, a nyomása pedig

\(\displaystyle p(x)=p_0+\frac{Dx}{A} \)

lesz.

A gáz belső energiájának megváltozása:

\(\displaystyle \Delta E=\frac{3}{2}p(x)V(x)-\frac{3}{2}p_0V_0=3Dx^2+\frac{3}{2}x\left(\frac{DV_0}{A}+2p_0A\right),\)

a gáz által végzett munka pedig

\(\displaystyle W'=p_\text{átlag}\Delta V=\frac{p_0+p(x)}{2}\left(V(x)-V_0\right)=Dx^2+2xAp_0.\)

A gáz munkáját úgy is megkaphatjuk, mint a két rugó rugalmas energiájának és a külső légkör nyomása ellenében végzett munkának az összege.

A hőtan első főtétele szerint

\(\displaystyle Q=\Delta E+W',\)

vagyis

\(\displaystyle 4Dx^2+\left(\frac{3}{2}\frac{DV_0}{A}+5p_0A\right)x-Q=0.\)

Ez \(\displaystyle x\)-re nézve másodfokú egyenlet, amelynek pozitív gyöke: \(\displaystyle x=0{,}039~\rm m\). A dugattyú tehát kb. 4 cm-t mozdul el jobbra a hőközlés hatására.


Statisztika:

A P. 5201. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. februári fizika feladatai