Problem P. 5201. (February 2020)
P. 5201. The figure shows a piston and two springs attached to it. The spring constant of both springs is \(\displaystyle D=1000\) N/m, the ambient air pressure is \(\displaystyle p_0=10^5\) Pa, and the piston of cross-sectional area \(\displaystyle A=10~{\rm dm}^2\) encloses a sample of monatomic gas. Initially both springs are unstretched, and the volume of the gas is \(\displaystyle V_0=50\) litres. How much does the piston move, if \(\displaystyle Q=2~\rm kJ\) thermal energy is added to the sample of gas? (The walls of the container and the piston are thermally insulated; friction, and the heat capacity of the heating element are negligible.)
(4 pont)
Deadline expired on March 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a dugattyú elmozdulását \(\displaystyle x\)-szel, a tartályét pedig \(\displaystyle y\)-nal. A rugókban ekkor \(\displaystyle Dx\) és \(\displaystyle Dy\) erő ébred. Egyensúlyban a rendszerre ható külső erők eredője nulla, vagyis \(\displaystyle y=x\) teljesül.
A gáz térfogata \(\displaystyle V_0\)-ról
\(\displaystyle V(x)=V_0+2xA \)
értékre növekszik, a nyomása pedig
\(\displaystyle p(x)=p_0+\frac{Dx}{A} \)
lesz.
A gáz belső energiájának megváltozása:
\(\displaystyle \Delta E=\frac{3}{2}p(x)V(x)-\frac{3}{2}p_0V_0=3Dx^2+\frac{3}{2}x\left(\frac{DV_0}{A}+2p_0A\right),\)
a gáz által végzett munka pedig
\(\displaystyle W'=p_\text{átlag}\Delta V=\frac{p_0+p(x)}{2}\left(V(x)-V_0\right)=Dx^2+2xAp_0.\)
A gáz munkáját úgy is megkaphatjuk, mint a két rugó rugalmas energiájának és a külső légkör nyomása ellenében végzett munkának az összege.
A hőtan első főtétele szerint
\(\displaystyle Q=\Delta E+W',\)
vagyis
\(\displaystyle 4Dx^2+\left(\frac{3}{2}\frac{DV_0}{A}+5p_0A\right)x-Q=0.\)
Ez \(\displaystyle x\)-re nézve másodfokú egyenlet, amelynek pozitív gyöke: \(\displaystyle x=0{,}039~\rm m\). A dugattyú tehát kb. 4 cm-t mozdul el jobbra a hőközlés hatására.
Statistics:
29 students sent a solution. 4 points: Bekes Barnabás, Békési Ábel, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Pálfi Fanni, Perényi Barnabás, Somlán Gellért, Szabados Noémi, Szabó 314 László, Toronyi András, Vass Bence. 3 points: Endrész Balázs, Györgyfalvai Fanni, Hamar Dávid, Harcsa-Pintér András, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Jánosik Áron, Kotán Tamás, Nagyváradi Dániel, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Szász Levente. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, February 2020