Problem P. 5202. (February 2020)
P. 5202. The specific heat capacity of metals at very low temperatures is approximately proportional to the absolute temperature (\(\displaystyle c=\alpha \cdot T\), where the proportionality constant \(\displaystyle \alpha\) is characteristic of the material). In a very well insulated chamber of a cryogenic laboratory, two pieces of different metals of different mass are placed such that they came into contact. The initial temperature of one of them (denoted by \(\displaystyle A\)) is 1.0 K, whilst that of the other \(\displaystyle (B)\) is 3.0 K, and the final common temperature is 2.0 K. What will the final common temperature be if the initial temperature values of the metals are \(\displaystyle T_A=1.5\) K and \(\displaystyle T_B=2.5\) K?
(5 pont)
Deadline expired on March 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha a fajhő a hőmérséklettel arányos, akkor egy adott tömegű fémdarab hőkapacitása is a hőmérséklettel arányos: \(\displaystyle C(T)=k\cdot T\), ahol a \(\displaystyle k\) arányossági tényező a fémdarab anyagától és tömegétől függő állandó. (A hőkapacitás az a hőmennyiség, amely az adott anyagi rendszer hőmérsékletének 1 K-nyi növeléséhez szükséges. A hőkapacitás a fajhő és a melegített test tömegének szorzata.)
Egy fémdarab belső energiája nagyon alacsony hőmérsékleteken (a \(\displaystyle T=0\) állapothoz viszonyítva):
\(\displaystyle E=C_\text{átlag}\cdot T=\left(k\frac{T}{2}\right)T.\)
Megjegyzés. Általános esetben, tetszőleges \(\displaystyle C(T)\) hőfokfüggés esetén a belső energia változása a \(\displaystyle C(T)\) függvény grafikonjának görbe alatti területeként (integráljaként) kapható meg. Ha \(\displaystyle C(T)\) lineáris függvény, akkor a kérdéses terület egy trapéz (vagy egy derékszögű háromszög) területével egyezik meg, amit a kezdeti és végső hőkapacitás számtani közepével számolt átlagból is megkaphatunk. Ugyanezt a gondolatmenetet alkalmazzuk az \(\displaystyle F=D\, x\) Hooke-törvényt követő rugó \(\displaystyle E(x)=F_\text{átlag}\cdot x=\frac{1}{2}Dx^2\) energiájának kiszámításakor, vagy az egyenletesen gyorsuló mozgás során megtett út meghatározásakor:
\(\displaystyle s(t)=v_\text{átlag}\cdot t=\frac{v_0+(v_0+at)}{2}t=v_0t+\frac{a}{2}t^2.\)
A fémdarabok összeérintése után a rendszer belső energiája nem változik, vagyis
\(\displaystyle k_A\frac{(1~\rm K)^2}{2}+k_B\frac{(3~\rm K)^2}{2}=k_A\frac{(2~\rm K)^2}{2}+k_B\frac{(2~\rm K)^2}{2}.\)
Innen adódik, hogy
\(\displaystyle k_B=\frac{3}{5}\,k_A.\)
A második esetben a \(\displaystyle T=T_\text{közös}\) hőmérsékletre felírhatjuk, hogy
\(\displaystyle k_A\frac{ T_A ^2}{2}+k_B\frac{T_B^2}{2}=k_A\frac{ T^2}{2}+k_B\frac{T ^2}{2},\)
ahonnan
\(\displaystyle T=\sqrt{\frac{3T_B^2+5T_A^2}{3+5}}\approx 1{,}9~\rm K.\)
Statistics:
36 students sent a solution. 5 points: Balázs 825 Ádám , Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Dóra Márton, Endrész Balázs, Fekete András Albert, Fiam Regina, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hamar Dávid, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Páhán Anita Dalma, Pankotai Dóra Anna, Perényi Barnabás, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Tanner Norman, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Török 517 Mihály, Varga Vázsony, Vass Bence, Viczián Anna. 4 points: Kalmár Dóra. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 1 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2020