Problem P. 5205. (February 2020)
P. 5205. The figure shows a loop made of a piece of copper wire. The shape of the loop is two concentric semi-circles and two connecting straight line segments. The loop is on a horizontal tabletop, but initially the smaller semi-circle is in a vertical position. The small semi-circle is turned into the horizontal position in 1 s. The dashed line is the axis of rotation. The whole loop is in uniform vertically upward magnetic field.
\(\displaystyle a)\) In which case is the flux linkage of the loop greater?
\(\displaystyle b)\) What is the average value, and the direction of the induced current in the loop, while the smaller loop turns? What is the direction of the current?
\(\displaystyle c)\) What is the greatest value of the induced current if the small semicircle is rotated at a constant angular speed and it takes exactly \(\displaystyle \Delta t=1\) s to turn from the vertical position to the horizontal position?
Data: the magnetic induction is \(\displaystyle B=0.35~\rm T\), the resistance of the loop is \(\displaystyle R=0.025~\Omega\), the radius of the smaller semi-circle is \(\displaystyle r=0.2\) m.
(4 pont)
Deadline expired on March 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A huroknak a mágneses indukcióvektorra merőleges (vízszintes) vetülete a kisebbik félkör területével csökken, így a fluxusváltozás
\(\displaystyle \Delta \Phi=-B\frac{r^2\pi}{2}=2{,}2\cdot 10^{-2}~\rm Wb\)
értékkel változik (csökken).
\(\displaystyle b)\) A fluxusváltozás sebességének, vagyis az indukált feszültségnek az átlagos értéke
\(\displaystyle \overline{U}=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=22~\rm mV,\)
ami a hurokban
\(\displaystyle \overline{I}=\frac{\overline{U}}{R}=0{,}88~\rm A\)
(átlagos) erősségű áramot indít el.
A Lenz-törvénynek megfelelően az áram iránya olyan, hogy függőlegesen felfelé mutató mágneses teret hozzon létre (csökkentse a fluxuscsökkenés mértékét). Ez akkor következik be, ha a kisebbik félkörben (felülről nézve) az óramutató járásával megegyező irányban folyik az áram.
\(\displaystyle c)\) Ha a kisebb félkör síkja a függőlegessel
\(\displaystyle \varphi(t)=\sin(2\pi ft)\)
módon változik, ahol \(\displaystyle f=\frac1{4~\rm s}\) a forgás frekvenciája. Az indulált feszültség és az indukált áram is időben periodikusan, harmonikus függvény szerint változik (éppen úgy, ahogy a váltóáramú generátorok forgó tekercsénél), legnagyobb értéke (amely a kis félkör függőleges helyzeténél folyik):
\(\displaystyle I_\text{max}=B\, \frac{r^2\pi}{2}\,2\pi f\,\frac{1}{R}=1{,}38~\rm A.\)
Statistics:
11 students sent a solution. 4 points: Fiam Regina, Fonyi Máté Sándor, Ludányi Levente, Nagyváradi Dániel, Vass Bence. 3 points: Horváth 999 Anikó, Nguyễn Đức Anh Quân. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, February 2020