Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5207. feladat (2020. február)

P. 5207. A müon (\(\displaystyle \mu^-\)) bomlékony elemi részecske, átlagos élettartama 2,197 \(\displaystyle \mu\)s, tömege 207 elektrontömeg, töltése megegyezik az elektronéval.

Egy részecskegyorsító tárológyűrűjében a gyűrű síkjára merőleges, homogénnek tekinthető mágneses tér van. A gyűrű egy adott pontjánál érintő irányból monoenergetikus müonnyalábot vezetnek a tárológyűrűbe. A körpályán keringő müonok átlagosan 5 teljes kör megtétele után maguktól elbomlanak.

\(\displaystyle a)\) Mekkora a müonok (átlagos) sebessége és mozgási energiája, ha a tárológyűrű átmérője 120 m?

\(\displaystyle b)\) Mekkora a gyűrűben a mágneses indukció nagysága?

Közli: Fajszi Bulcsú, Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn.

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha a klasszikus fizika törvényeit használnánk, a részecske sebességére

\(\displaystyle v_\text{klasszikus}=\frac{5\cdot 3{,}14\cdot 120~\rm m}{2{,}2\cdot 10^{-6}~\rm s}=8{,}56\cdot 10^8~\frac{\rm m}{\rm s}\)

értéket kapnánk, ami a vákuumbeli fénysebességnek majdnem háromszorosa! Ezek szerint a relativisztikus összefüggéseket kell alkalmaznunk.

\(\displaystyle a)\) A müon (átlagos) \(\displaystyle t_0\) élettartama abban a koordináta-rendszerben értendő, amelyben a részecske áll (vagy a \(\displaystyle c\) fénysebességhez képest nagyon lassan mozog). A laboratóriumhoz viszonyítva \(\displaystyle v=\beta c\) sebességgel mozgó müon átlagos bomlási ideje

\(\displaystyle t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\equiv \frac{t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}>t_0,\)

ez – az idődilatációnak nevezett – jelenség a speciális relativitáselmélet egyik furcsa, de kísérletileg sokszorosan ellenőrzött következménye.

A bomlás ideje és a megtett út viszonya tehát a relativisztikus képlet alapján:

\(\displaystyle v \frac{t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}=5\pi \cdot 2R,\)

azaz a \(\displaystyle \beta=v/c\) hányadossal kifejezve

\(\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{10\pi R}{ct_0}=2{,}86 \qquad \Rightarrow \qquad \beta=0{,}94, \qquad v=2{,}8\cdot 10^8\frac{\rm m}{\rm s}.\)

A müonok mozgási energiája (a relativisztikus energiaképlet alapján):

\(\displaystyle E_\text{mozgási}=E_\text{teljes}-E_\text{nyugalmi}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}}-mc^2\approx 0{,}2~\rm GeV.\)

\(\displaystyle b)\) A relativisztikus mozgásegyenlet \(\displaystyle B\) indukciójú mágneses térben:

\(\displaystyle \frac{mv}{\sqrt{1-\beta^2}}\cdot \frac{v}{R}=QvB.\)

(A fenti egyenlet bal oldalán megjelenő négyzetgyökös faktor az ú.n. relativisztikus tömegnövekedést, a bal oldali első tört pedig a relativisztikus lendületet írja le. ) A mágneses indukciót kifejezve a

\(\displaystyle B=\frac{10\pi m}{Qt_0}\)

formulát kapjuk. Érdekes, hogy ez a képlet nem tartalmazza a fénysebességet, emiatt megegyezik a nemrelativisztikus (klasszikus) képletekből adódó eredménnyel. (Az idődilatációt és a tömegnövekedést leíró faktorok egymást kiejtik.) Az adatok behelyettesítése után a \(\displaystyle B=0{,}017~\rm T\) eredményt kapjuk.


Statisztika:

A P. 5207. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. februári fizika feladatai