Problem P. 5207. (February 2020)
P. 5207. Muon (\(\displaystyle \mu^-\)) is an unstable elementary particle, its mean lifetime is 2.197 \(\displaystyle \mu\)s, its mass is 207 times the mass of an electron, and its charge is the same as the charge of an electron.
In a storage ring (a type of circular particle accelerator) there is uniform magnetic field, which is perpendicular to the plane of the ring. At a certain point of the ring, from the direction of the tangent at that point, a mono-energetic muon beam is injected into the storage ring. The muons revolve along the circular path and on average they decay after completing five whole turns.
\(\displaystyle a)\) What is the (average) speed and kinetic energy of the muons if the radius of the storage ring is 120 m?
\(\displaystyle b)\) What is the magnetic induction in the storage ring?
(6 pont)
Deadline expired on March 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha a klasszikus fizika törvényeit használnánk, a részecske sebességére
\(\displaystyle v_\text{klasszikus}=\frac{5\cdot 3{,}14\cdot 120~\rm m}{2{,}2\cdot 10^{-6}~\rm s}=8{,}56\cdot 10^8~\frac{\rm m}{\rm s}\)
értéket kapnánk, ami a vákuumbeli fénysebességnek majdnem háromszorosa! Ezek szerint a relativisztikus összefüggéseket kell alkalmaznunk.
\(\displaystyle a)\) A müon (átlagos) \(\displaystyle t_0\) élettartama abban a koordináta-rendszerben értendő, amelyben a részecske áll (vagy a \(\displaystyle c\) fénysebességhez képest nagyon lassan mozog). A laboratóriumhoz viszonyítva \(\displaystyle v=\beta c\) sebességgel mozgó müon átlagos bomlási ideje
\(\displaystyle t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\equiv \frac{t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}>t_0,\)
ez – az idődilatációnak nevezett – jelenség a speciális relativitáselmélet egyik furcsa, de kísérletileg sokszorosan ellenőrzött következménye.
A bomlás ideje és a megtett út viszonya tehát a relativisztikus képlet alapján:
\(\displaystyle v \frac{t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}=5\pi \cdot 2R,\)
azaz a \(\displaystyle \beta=v/c\) hányadossal kifejezve
\(\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{10\pi R}{ct_0}=2{,}86 \qquad \Rightarrow \qquad \beta=0{,}94, \qquad v=2{,}8\cdot 10^8\frac{\rm m}{\rm s}.\)
A müonok mozgási energiája (a relativisztikus energiaképlet alapján):
\(\displaystyle E_\text{mozgási}=E_\text{teljes}-E_\text{nyugalmi}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}}-mc^2\approx 0{,}2~\rm GeV.\)
\(\displaystyle b)\) A relativisztikus mozgásegyenlet \(\displaystyle B\) indukciójú mágneses térben:
\(\displaystyle \frac{mv}{\sqrt{1-\beta^2}}\cdot \frac{v}{R}=QvB.\)
(A fenti egyenlet bal oldalán megjelenő négyzetgyökös faktor az ú.n. relativisztikus tömegnövekedést, a bal oldali első tört pedig a relativisztikus lendületet írja le. ) A mágneses indukciót kifejezve a
\(\displaystyle B=\frac{10\pi m}{Qt_0}\)
formulát kapjuk. Érdekes, hogy ez a képlet nem tartalmazza a fénysebességet, emiatt megegyezik a nemrelativisztikus (klasszikus) képletekből adódó eredménnyel. (Az idődilatációt és a tömegnövekedést leíró faktorok egymást kiejtik.) Az adatok behelyettesítése után a \(\displaystyle B=0{,}017~\rm T\) eredményt kapjuk.
Statistics:
30 students sent a solution. 6 points: Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Endrész Balázs, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Hamar Dávid, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Szabó 314 László, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony, Vass Bence, Viczián Anna. 5 points: Nguyễn Đức Anh Quân, Selmi Bálint, Szoboszlai Szilveszter. 4 points: 7 students. 2 points: 1 student. 0 point: 4 students.
Problems in Physics of KöMaL, February 2020