Problem P. 5209. (March 2020)

P. 5209. In the pulley system shown in the figure the fixed pulley at the top has a radius of 15 cm, whilst the radius of the moveable pulley at the bottom is 25 cm. Each of the moveable pulleys turns 15 whole revolutions in a minute, and the rotational speeds of the fixed pulleys are also equal. (The threads between the pulleys can be considered vertical.)

\(\displaystyle a)\) What is the radius of each of the other pulleys?

\(\displaystyle b)\) What is the number of revolutions of the fixed pulleys?

(4 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a csigák sugarát fentről lefelé haladva \(\displaystyle r_1,\) \(\displaystyle r_2,\) \(\displaystyle r_3,\) \(\displaystyle r_4,\) \(\displaystyle r_5\) és \(\displaystyle r_6\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle r_1=15~\)cm és \(\displaystyle r_6=25~\)cm. Legyen továbbá az állócsigák fordulatszáma \(\displaystyle f\), a mozgócsigáké pedig \(\displaystyle f'=15~\text{perc}^{-1}\).

Ha a mozgócsigák egymással összekapcsolt tengelye \(\displaystyle v\) sebességgel emelkedik, akkor az egyes kötéldarabok sebessége az ábrán jelölt értékű. A csigák kerületi pontjainak sebessége a csiga tengelyéhez viszonyítva fentről lefelé haladva \(\displaystyle 6v\), \(\displaystyle 4v\), \(\displaystyle 2v\), \(\displaystyle v\), \(\displaystyle 3v\), \(\displaystyle 5v\). Ezek a kerületi sebességek kifejezhetők a csigák fordulatszáma és sugara segítségével:

\(\displaystyle 6v=2\pi r_1f,\qquad 4v=2\pi r_2f,\qquad 2v=2\pi r_3f,\)

vagyis

\(\displaystyle r_1:r_2:r_3=3:2:1, \qquad \text{ahonnan}\qquad r_2=10~{\rm cm}\quad \text{és}\quad r_3=5~\rm cm.\)

Hasonló módon a mozgócsigákra felítható, hogy

\(\displaystyle v=2\pi r_4f',\qquad 3v=2\pi r_5f',\qquad 5v=2\pi r_6f',\)

vagyis

\(\displaystyle r_4:r_5:r_6=1:3:5, \qquad \text{ahonnan}\qquad r_4= 5~{\rm cm}\quad \text{és}\quad r_5=15~\rm cm.\)

Az állócsigák fordulatszáma:

\(\displaystyle f=\frac{2r_4}{r_3}f'=30~\text{perc}^{-1}.\)

Megjegyzés. Jóllehet nem volt kérdés, de azt is kiszámíthatjuk még, hogy a teher

\(\displaystyle v=150\pi ~\frac{\rm cm}{\rm perc}=0{,}079~\frac{\rm m}{\rm s}\)

sebességgel emelkedik. A kötél végét \(\displaystyle 6v\) sebességgel kell mozgatnunk, de csak a teher súlya hatodrészének megfelelő erőt kell kifejtenünk.

Statistics:

12 students sent a solution.
4 points:	Hamar Dávid, Jánosik Máté, Ludányi Levente, Páhán Anita Dalma, Somlán Gellért.
3 points:	Sepsi Csombor Márton.
1 point:	1 student.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, March 2020