Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5211. (March 2020)

P. 5211. At what speed should a small object, being at rest at the starting point of a horizontal straight track of length \(\displaystyle 2L\), be pushed in order that after sliding along the vertical semicircular path of radius \(\displaystyle R\) at the end of the straight track it hit the midpoint of the horizontal track?

The coefficient of kinetic friction along the horizontal track is \(\displaystyle \mu\), the circular track is frictionless.

Data: \(\displaystyle L=2\) m; \(\displaystyle R=0.5\) m; \(\displaystyle \mu=0.4\).

(4 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a kis test sebességét a félkör legfelső pontjánál \(\displaystyle v_1\)-gyel! Mivel a félkört elhagyva a test vízszintes hajítást végez, és \(\displaystyle 2R\) magasságból indulva \(\displaystyle t\) idő alatt \(\displaystyle L\) utat tesz meg vízszintes irányban, felírható, hogy

\(\displaystyle 2R=\frac{g}{2}\,t^2,\qquad L=v_1t,\)

ahonnan

\(\displaystyle v_1^2=\frac{L^2g}{4R}.\)

Megjegyzés. Ez a sebesség a kényszerpálya elhagyása előtti pillanatban

\(\displaystyle a=\frac{v_1^2}{R}=\left(\frac{L}{2R}\right)^2 g=4g\)

centripetális gyorsulásnak felel meg. Mivel \(\displaystyle a>g\), a test sem ekkor, sem korábban nem hagyja el a félkör alakú pályát, végigcsúszik azon.

A \(\displaystyle v_0\) kezdősebességet – \(\displaystyle v_1\) ismeretében – a munkatétel alkalmazásával határozhatjuk meg:

\(\displaystyle \frac12mv_1^2-\frac12mv_0^2=-2Lmg\mu-2Rmg,\)

vagyis

\(\displaystyle v_0=\sqrt{\left(\frac{L^2}{4R}+4\mu L+4R\right)g}\approx 8{,}4~\frac{\rm m}{\rm s}.\)


Statistics:

60 students sent a solution.
4 points:Bekes Barnabás, Fekete András Albert, Hamar Dávid, Toronyi András, Varga Vázsony, Vass Bence, Viczián Anna.
3 points:Balázs 825 Ádám , Beke Zsolt, Békési Ábel, Bohács Tamás, Csapó Tamás, Csizy Gergő , Dóra Márton, Endrész Balázs, Fekete Levente, Fiam Regina, Györgyfalvai Fanni, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Koczkás József Dániel, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Nagyváradi Dániel, Németh Kristóf, Nguyễn Đức Anh Quân, Nguyen Hoang Trung, Páhán Anita Dalma, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Sümegi Géza, Szabados Noémi, Szabó 314 László, Takács Dóra, Tanner Norman, Téglás Panna, Tóth Ábel.
2 points:13 students.
0 point:2 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2020