Problem P. 5212. (March 2020)

P. 5212. There is a simple pendulum suspended above a horizontal tabletop at a height of \(\displaystyle h\). The bob of the simple pendulum of length \(\displaystyle \ell>h\) is released without initial speed from the position at which the thread is horizontal. The bob at the end of the thread bounces on the table \(\displaystyle n\) times such that at the last bounce the thread just gets tight, and the pendulum swings forward. Determine the ratio of \(\displaystyle h\) to \(\displaystyle \ell\).

(The collisions are totally elastic, air resistance is negligible and the thread does not disturb the motion of the bob.)

(4 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a fonálnak a függőlegessel bezárt szögét az első pattanás pillanatában \(\displaystyle \alpha\)-val. Az ábráról leolvasható, hogy

\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{h}{\ell}.\)

A golyó sebességének nagysága az első ütközéskor (az energiamegmaradás törvénye szerint)

\(\displaystyle v=\sqrt{2gh},\)

és ennek a sebességnek vízszintes komponense

\(\displaystyle v_x=v\cos\alpha,\)

a függőleges komponense pedig

\(\displaystyle v_y=v\sin\alpha.\)

Két ütközés között

\(\displaystyle t=\frac{2v_y}{g}=\frac{2v\sin\alpha}{g}\)

idő telik el, ezalatt vízszintes irányban a golyó elmozdulása

\(\displaystyle s=v_x t=\frac{2v\sin\alpha}{g}\cdot v\cos\alpha=4h\,\sin\alpha\,\cos\alpha= \frac{4h^2}{\ell}\sin\alpha.\)

Ha a fonál újboli megfeszüléséig \(\displaystyle n\) ütközés történik, akkor

\(\displaystyle (n-1)s=2\ell\sin\alpha,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{h}{\ell}=\frac1{\sqrt{2(n-1)}}.\)

Statistics:

27 students sent a solution.
4 points:	Békési Ábel, Bokor Endre, Fekete András Albert, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Lê Minh Phúc, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Viczián Anna.
3 points:	Beke Zsolt, Bekes Barnabás, Fekete Levente, Fülöp Sámuel Sihombing, Györgyfalvai Fanni, Horváth Antal, Hung Vo, Kardkovács Levente, Mócza Tamás István, Nguyễn Đức Anh Quân, Páhán Anita Dalma, Schäffer Bálint, Tóth Ábel, Vass Bence.
2 points:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, March 2020