Problem P. 5215. (March 2020)

P. 5215. The base of a warehouse is a square, and its walls are built from bricks of width 40 cm. \(\displaystyle \frac34\) of the surface of the wall is covered with 10 cm-thick heat insulating material, whilst \(\displaystyle \frac14\) of the surface of the wall is covered with 20 cm-thick heat insulating material. The thermal conductivity of brick is ten times as big as that of the heat insulating material. If the walls of the warehouse were covered uniformly with a layer of insulating material of thickness \(\displaystyle d\), the two types of insulation would result in the same effect in terms of heat propagation. What is the value of \(\displaystyle d\)?

(4 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a raktár teljes falfelületét \(\displaystyle A\)-val, a külső réteg hővezetési tényezőjét \(\displaystyle \lambda\)-val (ekkor a tégla hővezetési tényezője \(\displaystyle 10\lambda\)). Ha a belső hőmérséklet \(\displaystyle T_1\), a külső \(\displaystyle T_2\), a tégla és a hőszigetelő határfelületén pedig \(\displaystyle T\), akkor a hőáramsűrűség (egységnyi idő alatt egységnyi felületen átvezetett hő) a 40 cm vastag téglafalon is, és a 10 cm vastag szigetelőrétegen is ugyanakkora:

\(\displaystyle j_1=10\lambda \frac{T_1-T}{0{,}4~\rm m}=\lambda\frac{T-T_2}{0{,}1~\rm m}.\)

Innen \(\displaystyle T\) kiszámítható:

\(\displaystyle T=\frac{T_1+0{,}4\,T_2}{1{,}4},\)

a hőáramsűrűség pedig

\(\displaystyle j_1=7{,}14\lambda\left(T_1-T_2\right)\,{\rm m}^{-1}.\)

Hasonló módon számolhatunk a 20 cm vastag szigeteléssel ellátott falnál is:

\(\displaystyle j_2=10\lambda \frac{T_1-T}{0{,}4~\rm m}=\lambda\frac{T-T_2}{0{,}2~\rm m},\)

ahonnan

\(\displaystyle T=\frac{5T_1+T_2}{6},\)

és a hőáramsűrűség

\(\displaystyle j_2=4{,}17\lambda\left(T_1-T_2\right)\,{\rm m}^{-1}.\)

Ha a fal mindenhol ugyanakkora, \(\displaystyle d\) vastagságú hőszigetelést kapott volna, a hőáramsűrűség:

\(\displaystyle j_3=\frac{25}{25\,d+1~\rm m}\,\lambda\left(T_1-T_2\right).\)

A kétféle megoldás akkor egyenértékű, ha a hőleadás (ugyanannyi idő és ugyanakkora hőmérséklet-különbség esetén) megegyezik:

\(\displaystyle \frac{3}{4}Aj_1+\frac{1}{4}Aj_2= Aj_3,\)

ami \(\displaystyle d=0{,}116~{\rm m}\approx 12~\rm cm\) mellett teljesül.

Statistics:

13 students sent a solution.
4 points:	Bokor Endre, Endrész Balázs, Fonyi Máté Sándor, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Téglás Panna, Varga Vázsony.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, March 2020