Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5216. (March 2020)

P. 5216. In a vertical cylinder, below a heavy piston, there is a sample of air of quantity of \(\displaystyle n\) moles at a temperature of \(\displaystyle T_0\). The container and the piston are well insulated and there is vacuum outside. The piston is slowly raised, and when a work of \(\displaystyle W\) was done, the piston is released. The piston begins to swing, but after a while it stops (because of the internal friction of the air).

What will the temperature of the air at the new equilibrium position be? How does this result change if the piston is not raised, but pushed down, while \(\displaystyle W\) work is done, and then it is suddenly released?

(5 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. Legyen a dugattyú súlya \(\displaystyle G\), keresztmetszete \(\displaystyle A\), az elzárt levegő térfogata kezdetben \(\displaystyle V_0\), a végállapotban pedig (a dugattyú mozgásának megállása után) a hőmérséklet \(\displaystyle T\), a gáztérfogat pedig \(\displaystyle V\).

Mivel a falak és a dugattyú jó hőszigetelő, a rendszer nem tud leadni hőt, és így az általunk végzett \(\displaystyle W\) munka a rendszer energiáját növeli. Ez az energianövekedés egyrészt a gáz belső energiájának

\(\displaystyle \Delta E_\text{belső}=\frac{f}{2}nR \Delta T=\frac52 nR\left(T-T_0\right)\)

növekedését fedezi, másrészt a \(\displaystyle \Delta x=\frac{V-V_0}{A}\) magasságnyit megemelkedett dugattyú helyzeti energiájának

\(\displaystyle \Delta E_\text{helyzeti}=G\frac{V-V_0}{A}\)

növekedését biztosítja:

\(\displaystyle W=\Delta E_\text{belső}+\Delta E_\text{helyzeti}.\)

Igaz továbbá, hogy a kezdeti állapotban is, és a végállapotban is a gáz nyomása: \(\displaystyle p=G/A\) (hiszen a dugattyú mechanikai egyensúlyban van). A gáztörvény alapján

\(\displaystyle pV_0=nRT_0, \qquad pV =nRT,\)

ahonnan

\(\displaystyle \Delta E_\text{helyzeti}= nR\left(T-T_0\right)\)

következik.

Ezek szerint az energia mérlegegyenlete így írható fel:

\(\displaystyle W=\frac52 nR\left(T-T_0\right)+ nR\left(T-T_0\right)=\frac72 nR\left(T-T_0\right),\)

és a levegő keresett hőmérséklete az új egyensúlyi helyzetben

\(\displaystyle T=T_0+\frac{2W}{7nR}.\)

Ez az eredmény független attól, hogy a \(\displaystyle W\) munkát a dugattyú lassú emelésével, vagy pedig lassú lenyomásával végeztük.

II. megoldás. A rendszeren végzett munka a teljes energia megváltozásával egyenlő, és nem függ attól, hogy milyen módon hajtottuk végre az energiaváltoztatást. Ha nem fejtünk ki erőt a dugattyúra, tehát semennyi munkát nem végzünk, ellenben \(\displaystyle Q=W\) hőt közlünk lassan a rendszerrel, az energiaviszonyok ugyanolyan mértékben változnak meg. A dugattyú állandó súlya miatt ez a folyamat izobár állapotváltozás, tehát

\(\displaystyle Q=W=nc^{\rm mol}_p\left(T-T_0\right),\)

ahonnan

\(\displaystyle W= \frac72 nR(T-T_0), \qquad \text{tehát}\qquad T=T_0+\frac{2W}{7nR}.\)

Kihasználtuk, hogy a levegő (kétatomos gáz) állandó nyomáshoz tartozó mólhője \(\displaystyle c^{\rm mol}_p=\frac{f+2}{2}R=\frac{7}{2}R.\)


Statistics:

9 students sent a solution.
5 points:Bokor Endre, Fekete András Albert, Sas 202 Mór, Szabó 314 László, Toronyi András.
4 points:Horváth 999 Anikó, Selmi Bálint.
2 points:1 student.
1 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, March 2020