Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5219. feladat (2020. április)

P. 5219. Sík vidéken egy rét közepén gémeskút áll, függőleges oszlopa fele olyan magas, mint amilyen hosszú a gém. A rét szélére érve \(\displaystyle 2{,}3^\circ\)-os látószögben látjuk a tőlünk 100 méterre, pontosan északra lévő gémeskút oszlopát. A szemünk 165 cm magasan van a talaj fölött. A gém kelet–nyugat irányú, és a közepénél támaszkodik az oszlopra.

Ezt követően 1 m/s állandó sebességgel közelítjük meg a kutat. Számítsuk ki és ábrázoljuk vázlatosan, hogyan változik az idő függvényében a gém látószöge az elindulásunktól a kúthoz érkezésünkig!

Tankönyvi feladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Mivel az oszlop látószöge kezdetben elég kicsi, az egyenes, függőleges oszlop magasságát jó közelítéssel helyettesíthetjük a megfelelő (100 m sugarú, \(\displaystyle 2{,}3^\circ\)-os nyílásszögű) körív hosszával. Mivel \(\displaystyle 2{,}3^\circ=0{,}040~\)radián, az oszlop magassága \(\displaystyle \ell=100\cdot0{,}040= 4{,}0\) méter, a gém hossza pedig \(\displaystyle 2\ell=8{,}0\) méter.

Ahogy közeledünk a kúthoz, \(\displaystyle t\) idő elteltével az oszloptól mért távolságunk (SI egységekben) \(\displaystyle 100-t\), A gém közepétől (az oszlop tetejétől) mért távolságunk \(\displaystyle t\) idővel a rétre lépésünk után

\(\displaystyle d(t)=\sqrt{(100-t)^2+(4-1{,}65)^2}.\)

A gém teljes látószögét \(\displaystyle 2\varphi(t)\)-vel jelölve felírhatjuk, hogy

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle \tg\varphi(t)=\frac{ \ell }{d(t)}=\frac{4{,}0}{\sqrt{(100-t)^2+ 5{,}52}}.\)

Mindaddig, amíg nem érünk a kút közvetlen közelébe (mondjuk a \(\displaystyle 0\le t \le 80~{\rm s}\) időintervallumban) a látószög így számolható:

\(\displaystyle 2\varphi\approx\frac{8}{100-t}~\text{radián}=\frac{4{,}6^\circ}{1-0{,}01\,t},\)

de \(\displaystyle t\approx 10\) s-nál már a pontosabb (1) összefüggést kell alkalmaznunk. A gém legnagyobb látószöge (amikor éppen az oszlopnál vagyunk): \(\displaystyle 2\varphi_\text{max}\approx120^\circ.\)

Megjegyzés. Ekkora szöget a mozdulatlan szemünk már nem, vagy csak igen nehezen tud ,,befogni''. Ilyen és ezt meghaladó látószögű tárgyakat csak úgy észlelhetjük, ha a tekintetünk ide-oda cikázik.


Statisztika:

A P. 5219. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi fizika feladatai