Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5221. feladat (2020. április)

P. 5221. Egy piciny (pontszerűnek tekinthető) játékautónak építünk egy súrlódásmentes pályát, amely vízszintes szakasszal indul, azután egy \(\displaystyle r\) sugarú, függőleges síkú, kör alakú hurokban folytatódik, majd a hurok kezdetéhez visszaérve ismét vízszintessé válik. Legyen \(\displaystyle v\) az a legkisebb indítási sebesség, amellyel a kisautó már végighalad a pályán. Ezen \(\displaystyle v\) sebesség hányad részével kell elindítani az autót, hogy a hurokszakaszról leválva éppen a kör átellenes pontjába csapódjon majd be?

Közli: Vass Miklós, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A kisautó akkor fut végig a teljes pályán, ha a hurok legmagasabb pontjánál a nehézségi erő éppen fedezni tudja a körmozgáshoz szükséges centripetális erőt. A kocsi sebessége legyen ebben a pontban \(\displaystyle v_1\).

\(\displaystyle mg=\frac{mv_1^2}{r}, \qquad \text{vagyis}\qquad v_1=\sqrt{ gr}.\)

Ahhoz, hogy ekkora sebessége legyen a pálya legmagasabb pontjában, az indítási sebessége (az energiamegmaradás törvénye szerint):

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle v=\sqrt{v_1^2+4gr}= \sqrt{5gr}.\)

Jelöljük a hurokpályától való elválás helyéhez tartozó, a vízszintestől mért szöget \(\displaystyle \alpha\)-val, a kisautó sebességét pedig ebben a pontban \(\displaystyle v^*\)-gal (lásd az ábrát). A hurokpálya elhagyásának feltétele most is az, hogy a nehézségi erőnek a hurok középpontja felé mutató komponense biztosítani tudja a körmozgáshoz szükséges centripetális erőt:

\(\displaystyle mg\sin\alpha=m\frac{\left(v^*\right)^2}{r},\)

vagyis

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle v^*=\sqrt{gr\sin\alpha}.\)

A pálya elhagyása után a kisautó ferde hajítással mozog. Kezdősebessége vízszintes irányban \(\displaystyle v^*\sin\alpha\), függőleges irányban pedig \(\displaystyle v^*\cos\alpha\) Ha valamekkora \(\displaystyle t\) idő alatt éppen a pályaelhagyás helyével átellenes pontba érkezik, akkor teljesül:

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle v^*t\sin\alpha=2r\cos\alpha,\)

illetve

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle \frac{g}{2}\left(v^*\right)^2- v^*t\cos\alpha=2r\sin\alpha.\)

A \(\displaystyle t\) időt (3)-ból, a \(\displaystyle v^*\) sebességet (2)-ből kifejezve, és ezeket (4)-be helyettesítve kapjuk, hogy

\(\displaystyle \cos^2\alpha=\sin^2\alpha,\qquad \text{vagyis}\qquad \alpha=45^\circ.\)

Ezt (2)-be visszahelyettesítve adódik:

\(\displaystyle v^*=\sqrt{\frac{gr}{\sqrt{2}}}.\)

A kiskocsi indítási sebessége ismét az energiamegmaradás törvényét felhasználva:

\(\displaystyle v'=\sqrt{\left(v^*\right)^2+2gr(1+\sin\alpha)}=\sqrt{gr\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+2+ \frac{2}{\sqrt{2}}\right) }.\)

A kérdezett arányszám (1)-t felhasználva:

\(\displaystyle \frac{v'}{v}=\sqrt{\frac{4+3\sqrt2}{10}}\approx 0{,}91.\)


Statisztika:

A P. 5221. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi fizika feladatai