Problem P. 5221. (April 2020)
P. 5221. A frictionless track is built for a small (point-like) toy car. The initial part of the track is horizontal, and then it continues in a vertical circular loop of radius \(\displaystyle r\), and horizontal again after the loop is closed. Let \(\displaystyle v\) be the least initial speed of the toy car at which it must be started in order that it just go along the circular loop. What fraction of this speed \(\displaystyle v\) should be given to the toy car in order that after leaving the loop it strike the track exactly at the opposite point of the circle?
(5 pont)
Deadline expired on May 11, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A kisautó akkor fut végig a teljes pályán, ha a hurok legmagasabb pontjánál a nehézségi erő éppen fedezni tudja a körmozgáshoz szükséges centripetális erőt. A kocsi sebessége legyen ebben a pontban \(\displaystyle v_1\).
\(\displaystyle mg=\frac{mv_1^2}{r}, \qquad \text{vagyis}\qquad v_1=\sqrt{ gr}.\)
Ahhoz, hogy ekkora sebessége legyen a pálya legmagasabb pontjában, az indítási sebessége (az energiamegmaradás törvénye szerint):
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v=\sqrt{v_1^2+4gr}= \sqrt{5gr}.\) |
Jelöljük a hurokpályától való elválás helyéhez tartozó, a vízszintestől mért szöget \(\displaystyle \alpha\)-val, a kisautó sebességét pedig ebben a pontban \(\displaystyle v^*\)-gal (lásd az ábrát). A hurokpálya elhagyásának feltétele most is az, hogy a nehézségi erőnek a hurok középpontja felé mutató komponense biztosítani tudja a körmozgáshoz szükséges centripetális erőt:
\(\displaystyle mg\sin\alpha=m\frac{\left(v^*\right)^2}{r},\)
vagyis
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle v^*=\sqrt{gr\sin\alpha}.\) |
A pálya elhagyása után a kisautó ferde hajítással mozog. Kezdősebessége vízszintes irányban \(\displaystyle v^*\sin\alpha\), függőleges irányban pedig \(\displaystyle v^*\cos\alpha\). Ha valamekkora \(\displaystyle t\) idő alatt éppen a pályaelhagyás helyével átellenes pontba érkezik, akkor teljesül:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle v^*t\sin\alpha=2r\cos\alpha,\) |
illetve
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \frac{g}{2}\left(v^*\right)^2- v^*t\cos\alpha=2r\sin\alpha.\) |
A \(\displaystyle t\) időt (3)-ból, a \(\displaystyle v^*\) sebességet (2)-ből kifejezve, és ezeket (4)-be helyettesítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle \cos^2\alpha=\sin^2\alpha,\qquad \text{vagyis}\qquad \alpha=45^\circ.\)
Ezt (2)-be visszahelyettesítve adódik:
\(\displaystyle v^*=\sqrt{\frac{gr}{\sqrt{2}}}.\)
A kiskocsi indítási sebessége ismét az energiamegmaradás törvényét felhasználva:
\(\displaystyle v'=\sqrt{\left(v^*\right)^2+2gr(1+\sin\alpha)}=\sqrt{gr\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+2+ \frac{2}{\sqrt{2}}\right) }.\)
A kérdezett arányszám (1)-t felhasználva:
\(\displaystyle \frac{v'}{v}=\sqrt{\frac{4+3\sqrt2}{10}}\approx 0{,}91.\)
Statistics:
30 students sent a solution. 5 points: Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bokor Endre, Fekete András Albert, Fekete Levente, Horváth 999 Anikó, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Perényi Barnabás, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szabados Noémi, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Vass Bence, Viczián Anna. 4 points: Schäffer Bálint, Varga Vázsony. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 1 point: 6 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, April 2020