Problem P. 5222. (April 2020)

P. 5222. Two solid rubber balls, made of high-quality rubber, are placed on the top of one another as shown in the figure, and then they are released from a height of \(\displaystyle h\). The collisions occur as follows: first the bottom ball of mass \(\displaystyle M\) collides with the ground totally elastically, then after a very short time the ball that bounced back from the ground collides totally elastically with the upper ball of mass \(\displaystyle m\).

\(\displaystyle a)\) What is the ratio of \(\displaystyle m/M\) in the case when the total initial potential energy of the balls is converted to the energy of the upper ball? How high will the upper ball go up in this case?

\(\displaystyle b)\) What is the ratio of \(\displaystyle m/M\) in the case when the upper ball bounces to the greatest possible height and what is this height?

\(\displaystyle c)\) At what ratio of \(\displaystyle m/M\) can the above description of the collisions be applied? What happens for example at the mass ratio of \(\displaystyle k = m/M = 3\)?

(The collisions are momentary. The size of the balls is much smaller than the height \(\displaystyle h\).)

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A labdák \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh}\) nagyságú sebességgel érik el a talajt, majd az alsó labda sebességirányt vált. Legyen a felfelé mutató irány pozitív. A két labda tökéletesen rugalmas ütközése alatt (az összenyomódási szakasz végén) a labdák elérnek egy közös \(\displaystyle c=\frac{M-m}{M+m} v_0\) sebességet, majd úgy lökődnek szét, hogy a szétlökődés során a \(\displaystyle \Delta v\) sebességváltozásuk ugyanakkora, mint az összenyomódás közben. Az alsó labda sebességváltozása \(\displaystyle \Delta v_\text{alsó}=c-v_0\), a felső labdáé \(\displaystyle \Delta v_\text{felső}=c-(-v_0 )=c+v_0.\) Az ütközés utáni sebességek tehát így adódnak:

\(\displaystyle v_\text{alsó}=c+(c-v_0 )=2c-v_0=\frac{M-3m}{M+m}\, v_0\)

és

\(\displaystyle v_\text{felső} =c+(c+v_0 )=2c+v_0=\frac{3M-m}{M+m}\, v_0 .\)

\(\displaystyle a)\) A két labda kezdeti helyzeti energiája akkor alakul át teljesen a felső labda energiájává, ha az alsó labda megáll. A fenti képletek alapján ez \(\displaystyle \frac{m}{M}= \frac{1}{3} \) tömegarány esetén valósul meg. Ezt könnyen ellenőrizhetjük, hiszen a kezdeti helyzeti energia \(\displaystyle (m+M)gh=4mgh\), míg a felső labda ütközés utáni mozgási energiája ilyen tömegarány esetén:

\(\displaystyle \frac12mv_\text{felső}^2=\frac12 m \left(\frac{3M-m} {M+m}\, v_0 \right)^2=\frac12 m\left(\frac{2m}{m}\,v_0 \right)^2=2mv_0^2=4mgh. \)

Ebben az esetben a felső labda \(\displaystyle 2v_0\) sebességgel pattan fel, és így \(\displaystyle 4h\) magasságra jut.

\(\displaystyle b)\) A felső labda ütközés utáni sebességét a \(\displaystyle k = m/M\) tömegaránnyal is kifejezhetjük:

\(\displaystyle v_\text{felső}=\frac{ 3M-m}{M+m} v_0=\frac{3-k}{1+k}\, v_0 .\)

Beláthatjuk, hogy a fenti kifejezésben lévő tört (a fizikailag reális \(\displaystyle k>0\) értékeknél) akkor maximális, ha \(\displaystyle k\approx 0\), tehát akkor repül a legmagasabbra a felső labda, ha tömege elhanyagolhatóan kicsi az alsó labda tömegéhez képest. Ebben az esetben a felső labda végsebessége \(\displaystyle 3v_0\), tehát a maximálisan elérhető magasság \(\displaystyle 9h\).

Megjegyzés. Sok sportban történik ütő-labda ütközés. Ha az ütő tömegéhez képest elhanyagolható a labda tömege, akkor az ütő sebességváltozása elhanyagolható, míg merőleges ütés esetén a labdának az ütőhöz viszonyított sebessége előjelet vált. Ha az álló labdát találja el a \(\displaystyle v\) sebességű ütő, akkor az ütőhöz képest \(\displaystyle -v\) sebességű labda sebessége vált előjelet, és a labda a talajhoz képest \(\displaystyle 2v\) sebességgel pattan el. Ha a \(\displaystyle v\) sebességű ütőhöz képest \(\displaystyle -v\) sebességgel közeledik a labda, akkor az ütőhöz képest \(\displaystyle -2v\) sebességű labda sebessége változik az ellentettjére, tehát a talajhoz képest a labda sebessége \(\displaystyle 3v\) lesz.

\(\displaystyle c)\) Szigorúan véve csak akkor alkalmazhatjuk a feladat szövegében leírt ütközési modellt, ha a két labda csak egyszer ütközik. Írjuk fel a labdák ütközés utáni sebességeit:

\(\displaystyle v_\text{alsó}= \frac{M-3m}{M+m}\, v_0= \frac{1-3k}{1+k} \, v_0,\)

\(\displaystyle v_\text{felső}= \frac{3M-m}{M+m}\, v_0=\frac{3-k}{1+k}\, v_0 .\)

Abban az esetben, ha \(\displaystyle k<\tfrac13\) , akkor az ütközés után mindkét labda felfelé repül, a felső gyorsabban, mint az alsó. Ha \(\displaystyle k=\tfrac13\), akkor (ahogy ezt már láttuk fentebb) az alsó labda megáll, a felső viszont felrepül. Ha \(\displaystyle k\) egy kissé nagyobb\(\displaystyle \tfrac13\)-nál, akkor az alsó labda visszapattan, újra ütközik a talajjal, de utána nem éri utol a felső labdát.

Akkor következik be a két labda között a második ütközés is, ha a talajról visszapattanó alsó labda utoléri a felsőt. Ennek a feltétele ez:

\(\displaystyle -\frac{1-3k}{1+k} v_0>\frac{3-k}{1+k}\,v_0,\)

amiből következik, hogy \(\displaystyle k>1\). Ha \(\displaystyle k\) éppen 1, vagyis a két labda tömege megegyezik, akkor az ütközéskor sebességet cserélnek, majd az alsó labda visszapattan a talajról, és a továbbiakban együtt szállnak a magasba, de már nem érintkeznek többet. Tehát a két labda akkor ütközik egyszer, ha \(\displaystyle k\le1\).

Tegyük fel, hogy az ütközési modell még akkor is jó, ha a labdák kétszer is ütköznek, de háromszor már nem. Ilyenkor \(\displaystyle k>1\). Nincs mit tenni, a második ütközés utáni sebességeket is ki kell számolni, mert csak így deríthetjük ki a harmadik ütközés feltételét. Hosszabb számolás után erre juthatunk:

\(\displaystyle v_\text{alsó,2}=\frac{10k-5k^2-1}{(1+k)^2}\, v_0,\)

\(\displaystyle v_\text{felső,2}=\frac{10k-k^2-5}{(1+k)^2} \, v_0 .\)

Eredményünket ellenőrizhetjük például a \(\displaystyle k = m/M = 3\) tömegarány esetében. Ilyenkor az első ütközés után a felső labda megáll, az alsó pedig \(\displaystyle 2v_0\) sebességgel pattan vissza róla, majd a talajról történő visszapattanás után az álló labdát \(\displaystyle 2v_0\) sebességgel találja el. A rugalmas ütközéskor a köztes közös sebesség \(\displaystyle v_0/2\) lesz, tehát a második ütközés után a felső labda \(\displaystyle v_0\) sebességgel indul el felfelé, míg az alsó szintén \(\displaystyle v_0\) sebességgel, de lefelé indul. Lényegében ugyanaz történik, mint a \(\displaystyle k = \tfrac13\) esetben, hiszen ilyenkor is végül a két labda azonos \(\displaystyle v_0\) sebességgel fog felfelé mozogni. Ha behelyettesítünk a fenti képletekbe, akkor megnyugtató módon ugyanezekre a számértékekre jutunk:

\(\displaystyle v_\text{alsó,2}(k=3))= \frac{10k-5k^2-1}{(1+k)^2}\, v_0=-v_0,\)

\(\displaystyle v_\text{felső,2}(k=3))= \frac{10k-k^2-5}{(1+k)^2} \, v_0=v_0.\)

Ezek szerint arra jutottunk, hogy akkor következik be a két labda között harmadik ütközés is, ha \(\displaystyle k>3.\)

Összefoglalva tehát arra jutottunk, hogy \(\displaystyle k\le 1\) esetén a két labda csak egyszer ütközik, \(\displaystyle 1<k\le3\) esetében kétszer ütköznek a labdák, míg \(\displaystyle k>3\) esetén kettőnél többször. Minél többszörös az ütközés, annál kevésbé realisztikus a feladat szövegében leírt ütközési sorozat, mert a labdák középpontjának mozgásiránya el fog térni a függőlegestől.

Statistics:

32 students sent a solution.
5 points:	Bokor Endre, Bonifert Balázs, Fekete Levente, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Szabados Noémi, Szabó 314 László, Tóth Ábel.
4 points:	Békési Ábel, Fekete András Albert, Györgyfalvai Fanni, Horváth 999 Anikó, Jánosik Máté, Mócza Tamás István, Nguyễn Đức Anh Quân, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Vakaris Klyvis, Vass Bence, Viczián Anna.
3 points:	6 students.
2 points:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2020