Problem P. 5225. (April 2020)
P. 5225. There is 5 litres water at a temperature of \(\displaystyle 20\;{}^\circ\)C in a stockpot of base area 10 dm\(\displaystyle {}^2\). The density of water is 998 kg/m\(\displaystyle {}^3\). The water is heated to \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C. The coefficient of volume expansion of water can be considered constant between the temperature values of \(\displaystyle 20\;{}^\circ\)C and \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C, and it is \(\displaystyle \beta_\text{water}=4\cdot10^{-4}\) 1/K. The pot is made of stainless steel whose coefficient of volume expansion is \(\displaystyle \beta_\text{steel}=5\cdot10^{-5}\) 1/K. Neglect the vaporization of water.
\(\displaystyle a)\) What is the initial hydrostatic pressure at the bottom of the pot? How much does this value change during the heating?
\(\displaystyle b)\) How much does the level of water change due to the heating?
(4 pont)
Deadline expired on May 11, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Kezdetben a víz magassága
\(\displaystyle h=\frac{V}{A}=\frac{5~\rm dm^3}{10~\rm dm^2}=0{,}5~{\rm dm}=5\cdot 10^{-2}~\rm m.\)
A hidrosztatikai nyomás ekkor
\(\displaystyle p_0=\varrho g h=489~{\rm Pa}\approx 0{,}5~\rm kPa.\)
A melegítés során az edény térfogatának relatív változása:
\(\displaystyle \frac{\Delta V}{V}=5\cdot 10^{-5}\cdot 60=0{,}003.\)
Mivel a térfogati hőtágulási együttható a lineáris tágulás együtthatójának háromszorosa, az edény átmérőjének relatív változása 0,001, a fazék alapterületének relatív növekedése 0,002. A hidrosztatikai nyomás a folyadék súlyának és az alapterületnek a hányadosa. A folyadék súlya (tömege) a melegítés során nem változik, tehát a hidrosztatikai nyomás az alapterület változásának arányában
\(\displaystyle \Delta p=0{,}002\, p_0\approx 1~\rm Pa\)
értékkel csökken.
\(\displaystyle b)\) A víz térfogata a melegítés során
\(\displaystyle 4\cdot 10^{-4}\cdot 60=0{,}024\)
arányban megnő. Ugyanakkor az edény alapterülete is megnő 0,002 arányban, a magasság relatív változása tehát
\(\displaystyle \frac{\Delta h}{h}\approx \frac{\Delta V}{V}-\frac{\Delta A}{A}=0{,}024-0{,}002=0{,}022.\)
A vízszint tehát az eredeti magasság 2,2%-ával, azaz 1,1 mm-rel emelkedik.
Statistics:
35 students sent a solution. 4 points: Baki Bence István, Békési Ábel, Bokor Endre, Csizmadia Máté Zalán, Dóra Márton, Györgyfalvai Fanni, Horváth Antal, Jánosik Máté, Ludányi Levente, Schäffer Bálint, Szabados Noémi, Tanner Norman, Toronyi András, Vass Bence. 3 points: Bánáti Tamás, Csizy Gergő , Endrész Balázs, Fiam Regina, Hegymegi Balázs, Horváth 999 Anikó, Takács Dóra, Tóth Ábel, Török 111 László. 2 points: 10 students. 1 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, April 2020