Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5226. feladat (2020. április)

P. 5226. Két azonos keresztmetszetű, \(\displaystyle \ell_1\) és \(\displaystyle \ell_2\) hosszúságú, \(\displaystyle \lambda_1\) és \(\displaystyle \lambda_2\) hővezető-képességű fémrudat hőszigetelő borítással ellátva összeillesztünk úgy, hogy egyetlen \(\displaystyle \ell_1+\ell_2\) hosszúságú rudat alkossanak. A két végén \(\displaystyle T_1\) és \(\displaystyle T_2\) hőmérsékletet állítunk be.

\(\displaystyle a)\) Mennyi a rudak hőmérséklete ott, ahol érintkeznek?

\(\displaystyle b)\) Ábrázoljuk a hőmérséklet rúd menti eloszlását!

Adatok: \(\displaystyle \ell_1=65\) cm, \(\displaystyle \ell_2=40\) cm, \(\displaystyle \lambda_1=395~\frac{\rm W}{\rm m\cdot K}\), \(\displaystyle \lambda_2=76~\frac{\rm W}{\rm m\cdot K}\), \(\displaystyle T_1=30\;{}^\circ\)C, \(\displaystyle T_2=80\;{}^\circ\)C.

Közli: Wiedemann László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük a rudak keresztmetszetét \(\displaystyle A\)-val, az érintkezési pont hőmérsékletét pedig \(\displaystyle T\)-vel. (Nyilván \(\displaystyle T_1<T<T_2\).) A Newton-féle hővezetési törvény szerint egy-egy rúdon egységnyi idő alatt átáramló hő: \(\displaystyle Q=A\lambda \Delta T/\ell\). Az érintkezési felületre ugyanannyi hő érkezik az egyik rúdból, mint amennyi távozik a másik rú felé:

\(\displaystyle A\frac{\lambda_2}{\ell_2}\,(T_2-T)=A\frac{\lambda_1}{\ell_1}\,(T-T_1),\)

ahonnan a keresett hőmérséklet:

\(\displaystyle T=\frac{(\lambda_2/\ell_2)\,T_2+(\lambda_1/\ell_1)\,T_1}{(\lambda_1/\ell_1)+(\lambda_2/\ell_2)}\approx 42\,^\circ\rm C.\)

(Ez az érték a rúd végpontjainál mérhető hőmérsékletek súlyozott számtani közepe. A súlyfaktorok amegfelelő \(\displaystyle \lambda/\ell\) mennyiségek.)

\(\displaystyle b)\) Egy-egy rúd mentén a hőmérséklet lineárisan változik, hiszen a hőáram a rúd egyes részeinél ugyanakkora. Ennek megfelően a hőmérséklet-eloszlás a teljes rúd mentén:


Statisztika:

A P. 5226. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi fizika feladatai