Problem P. 5226. (April 2020)

P. 5226. Two metal rods of lengths \(\displaystyle \ell_1\) and \(\displaystyle \ell_2\), of thermal conductivity of \(\displaystyle \lambda_1\) and \(\displaystyle \lambda_2\), and having the same cross section are both covered with thermal insulating sleeves, and put together such that they form a single rod of length \(\displaystyle \ell_1+\ell_2\). The temperature values at the the two ends are adjusted to the values of \(\displaystyle T_1\) and \(\displaystyle T_2\).

\(\displaystyle a)\) What is the temperature of the rods at their contact points?

\(\displaystyle b)\) Sketch the temperature of the rod as a function of the position along the rod.

Data: \(\displaystyle \ell_1=65\) cm, \(\displaystyle \ell_2=40\) cm, \(\displaystyle \lambda_1=395~\frac{\rm W}{\rm m\cdot K}\), \(\displaystyle \lambda_2=76~\frac{\rm W}{\rm m\cdot K}\), \(\displaystyle T_1=30\;{}^\circ\)C, \(\displaystyle T_2=80\;{}^\circ\)C.

(4 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük a rudak keresztmetszetét \(\displaystyle A\)-val, az érintkezési pont hőmérsékletét pedig \(\displaystyle T\)-vel. (Nyilván \(\displaystyle T_1<T<T_2\).) A Newton-féle hővezetési törvény szerint egy-egy rúdon egységnyi idő alatt átáramló hő: \(\displaystyle Q=A\lambda \Delta T/\ell\). Az érintkezési felületre ugyanannyi hő érkezik az egyik rúdból, mint amennyi távozik a másik rúd felé:

\(\displaystyle A\frac{\lambda_2}{\ell_2}\,(T_2-T)=A\frac{\lambda_1}{\ell_1}\,(T-T_1),\)

ahonnan a keresett hőmérséklet:

\(\displaystyle T=\frac{(\lambda_2/\ell_2)\,T_2+(\lambda_1/\ell_1)\,T_1}{(\lambda_1/\ell_1)+(\lambda_2/\ell_2)}\approx 42\,^\circ\rm C.\)

(Ez az érték a rúd végpontjainál mérhető hőmérsékletek súlyozott számtani közepe. A súlyfaktorok a megfelelő \(\displaystyle \lambda/\ell\) mennyiségek.)

\(\displaystyle b)\) Egy-egy rúd mentén a hőmérséklet lineárisan változik, hiszen a hőáram a rúd egyes részeinél ugyanakkora. Ennek megfelően a hőmérséklet-eloszlás a teljes rúd mentén:

Statistics:

13 students sent a solution.
4 points:	Békési Ábel, Bonifert Balázs, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Somlán Gellért, Varga Vázsony.
3 points:	Lévay Kristóf.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2020