Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5226. (April 2020)

P. 5226. Two metal rods of lengths \(\displaystyle \ell_1\) and \(\displaystyle \ell_2\), of thermal conductivity of \(\displaystyle \lambda_1\) and \(\displaystyle \lambda_2\), and having the same cross section are both covered with thermal insulating sleeves, and put together such that they form a single rod of length \(\displaystyle \ell_1+\ell_2\). The temperature values at the the two ends are adjusted to the values of \(\displaystyle T_1\) and \(\displaystyle T_2\).

\(\displaystyle a)\) What is the temperature of the rods at their contact points?

\(\displaystyle b)\) Sketch the temperature of the rod as a function of the position along the rod.

Data: \(\displaystyle \ell_1=65\) cm, \(\displaystyle \ell_2=40\) cm, \(\displaystyle \lambda_1=395~\frac{\rm W}{\rm m\cdot K}\), \(\displaystyle \lambda_2=76~\frac{\rm W}{\rm m\cdot K}\), \(\displaystyle T_1=30\;{}^\circ\)C, \(\displaystyle T_2=80\;{}^\circ\)C.

(4 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük a rudak keresztmetszetét \(\displaystyle A\)-val, az érintkezési pont hőmérsékletét pedig \(\displaystyle T\)-vel. (Nyilván \(\displaystyle T_1<T<T_2\).) A Newton-féle hővezetési törvény szerint egy-egy rúdon egységnyi idő alatt átáramló hő: \(\displaystyle Q=A\lambda \Delta T/\ell\). Az érintkezési felületre ugyanannyi hő érkezik az egyik rúdból, mint amennyi távozik a másik rú felé:

\(\displaystyle A\frac{\lambda_2}{\ell_2}\,(T_2-T)=A\frac{\lambda_1}{\ell_1}\,(T-T_1),\)

ahonnan a keresett hőmérséklet:

\(\displaystyle T=\frac{(\lambda_2/\ell_2)\,T_2+(\lambda_1/\ell_1)\,T_1}{(\lambda_1/\ell_1)+(\lambda_2/\ell_2)}\approx 42\,^\circ\rm C.\)

(Ez az érték a rúd végpontjainál mérhető hőmérsékletek súlyozott számtani közepe. A súlyfaktorok amegfelelő \(\displaystyle \lambda/\ell\) mennyiségek.)

\(\displaystyle b)\) Egy-egy rúd mentén a hőmérséklet lineárisan változik, hiszen a hőáram a rúd egyes részeinél ugyanakkora. Ennek megfelően a hőmérséklet-eloszlás a teljes rúd mentén:


Statistics:

13 students sent a solution.
4 points:Békési Ábel, Bonifert Balázs, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Somlán Gellért, Varga Vázsony.
3 points:Lévay Kristóf.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:2 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2020