Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5227. (April 2020)

P. 5227. \(\displaystyle a)\) Different resistors were put into two boxes. Each box contains one from each of the following resistors: 1 k\(\displaystyle \Omega\), 2 k\(\displaystyle \Omega\), 3 k\(\displaystyle \Omega\), 4 k\(\displaystyle \Omega\) and 5 k\(\displaystyle \Omega\). One resistor is taken out randomly from each box, and they are connected in series. What is the probability that the equivalent resistance of the series connection is 2 k\(\displaystyle \Omega\), 3 k\(\displaystyle \Omega\), 4 k\(\displaystyle \Omega\), 5 k\(\displaystyle \Omega\), 6 k\(\displaystyle \Omega\), 7 k\(\displaystyle \Omega\), 8 k\(\displaystyle \Omega\), 9 k\(\displaystyle \Omega\) or 10 k\(\displaystyle \Omega\)?

\(\displaystyle b)\) In other two boxes there are also some resistors. Both of these two boxes contain one from each of the following resistors: 60 k\(\displaystyle \Omega\), 30 k\(\displaystyle \Omega\), 20 k\(\displaystyle \Omega\), 15 k\(\displaystyle \Omega\) and 12 k\(\displaystyle \Omega\). One resistor is taken out randomly from each box, and they are connected in parallel. What is the probability that the equivalent resistance of the parallel connection is 30 k\(\displaystyle \Omega\), 20 k\(\displaystyle \Omega\), 15 k\(\displaystyle \Omega\), 12 k\(\displaystyle \Omega\), 10 k\(\displaystyle \Omega\), or less than 10 k\(\displaystyle \Omega\)?

(4 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Bármelyik ellenállás-pár kihúzásának ugyanakkora az esélye, és mivel összesen 25 lehetőség van, az egyes valószínűségek nagysága \(\displaystyle \frac1{25}\). A soros eredő nagysága az egyes ellenállások összege. Mivel 2 k\(\displaystyle \Omega\)-os vagy 10 k\(\displaystyle \Omega\)-os összeg csak egyféleképpen valósulhat meg, ezek valószínűsége: \(\displaystyle p_2=p_{10}=\frac1{25}\). (A valószínűségek indexe az eredő ellenállás k\(\displaystyle \Omega\)-ban mért értékére utal.) A 3 k\(\displaystyle \Omega\)-os összeg kétféleképpen is kialakulhat (\(\displaystyle 1+2\) vagy \(\displaystyle 2+1\)), és ugyanez igaz a 9 k\(\displaystyle \Omega\)-ra is, tehát \(\displaystyle p_3=p_9=\frac2{25}\). Hasonló megfontolásból adódik, hogy \(\displaystyle p_4=p_8=\frac3{25}\), \(\displaystyle p_5=p_7=\frac4{25}\), és végül \(\displaystyle p_6=\frac5{25}\). Természetesen a valószínűségek összegére teljesül, hogy

\(\displaystyle \sum_{i=2}^{10}p_i=1.\)

\(\displaystyle b)\) Párhuzamos kapcsolásnál az ellenállások reciproka adódik össze, ez adja meg az eredő reciprokát. Vegyük észre, hogy az egyes dobozokban található ellenállás-reciprokok számtani sorozatot alkotnak, így az előzőekben leírtak itt is alkalmazhatók. Az eredő csak úgy lehet 30 k\(\displaystyle \Omega\), ha mindkét dobozból a legnagyobb ellenállást vesszük ki, ennek esélye \(\displaystyle \frac1{25}=4\%\). A 20 k\(\displaystyle \Omega\)-os eredő kétféleképpen (60 és 30, illetve 30 és 60 \(\displaystyle \Omega\)-ból) alakulhat ki, ennek esélye tehát 8%. Hasonlóan adódik, hogy a 15 k\(\displaystyle \Omega\)-os eredő esélye 12%, a 12 k\(\displaystyle \Omega\)-osé 16%, és végül a 10 k\(\displaystyle \Omega\)-os eredőt 20% valószínűséggel kapjuk. Ezen valószínűségek összege 60%, az ezektől eltérő (10 \(\displaystyle \Omega\)-nál kisebb) eredő ellenállás kialakításának esélye tehát 40%.


Statistics:

37 students sent a solution.
4 points:Beke Zsolt, Csécsi Marcell, Csizy Gergő , Dóra Márton, Endrész Balázs, Fekete Levente, Györgyfalvai Fanni, Hamar Dávid, Horváth 127 Ádám, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Németh Kristóf, Nguyễn Đức Anh Quân, Páhán Anita Dalma, Schmercz Blanka, Sümegi Géza, Szabados Noémi, Szász Levente, Tanner Norman, Török 111 László, Vakaris Klyvis, Varga Vázsony.
3 points:Bánáti Tamás, Fiam Regina, Horváth Antal, Lévay Kristóf, Nagyváradi Dániel, Takács Dóra, Vadász Roland.
0 point:1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, April 2020