Problem P. 5228. (April 2020)

P. 5228. Calculate the distance between two lead atoms in a galena crystal, if its density and its constituents are known. (Similarly to rock salt, galena has a cubic crystal system.)

(4 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A galenit (PbS, azaz ólomszulfid), sűrűsége (interneten megtalálható adat) \(\displaystyle \varrho=7{,}58~ \frac{\rm g}{\rm cm^3}\). A galenit kristályrácsa az 1. ábrán látható \(\displaystyle d\) oldalélű kockákból áll.

1. ábra

Megjegyzés. A kristályrács ún. elemi cellája nyolc ilyen kis kockát tartalmazó, \(\displaystyle 2d\) oldalélű kocka, amelynek csúcsaiban és a lapjainak középpontjában ugyanolyan atom helyezkedik el (2. ábra).)

2. ábra

Számítsuk ki, mekkora tömeg tartozik az 1. ábrán látható kis kockához. A négy ólomion mindegyike nyolc kockához tartozik, tehát a tömeg kiszámításánál csak az atomtömegük \(\displaystyle \tfrac18\)-át vehetjük figyelembe. Ugyanez érvényes a kénionokra is. Az ólom és a kén moláris tömege

\(\displaystyle m_{\rm Pb}=207{,}19~\frac{\rm g}{\rm mol},\qquad \text{illetve} \qquad m_{\rm S}=32{,}06~\frac{\rm g}{\rm mol},\)

a kis kockához tartozó tényleges tömeg:

\(\displaystyle m=\frac12\left(207{,}19+32{,}06\right)~\frac{\rm g}{\rm mol}\cdot \frac{1}{6{,}022\cdot10^{23}~{\rm mol^{-1}}}=1{,}99\cdot10^{-22}~\rm g.\)

Mivel

\(\displaystyle \frac{m}{d^3}=\varrho,\)

a kis kocka oldalhossza kiszámítható:

\(\displaystyle d=\sqrt[3]{\frac{m}{\varrho}}=2{,}97\cdot 10^{-8}~\rm cm.\)

Ezek szerint a galenit rácsálladdója: \(\displaystyle 2d=5{,}94\cdot 10^{-8}~\rm cm,\) két szomszédos ólomion távolsága pedig

\(\displaystyle \sqrt{2}\,d=4{,}2\cdot 10^{-8}~\rm cm.\)

Statistics:

26 students sent a solution.
4 points:	Bokor Endre, Dóra Márton, Jirkovszky-Bari László, Vadász Roland, Varga Vázsony.
3 points:	Fiam Regina, Györgyfalvai Fanni, Horváth Antal, Jánosik Máté, Kardkovács Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Viczián Anna.
2 points:	7 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Physics of KöMaL, April 2020