Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5229. feladat (2020. április)

P. 5229. A súlytalanság állapotában egymástól \(\displaystyle 2L\) távolságra két, egyenként \(\displaystyle Q\) nagyságú ponttöltést rögzítünk. A töltések között, a szimmetriatengely körül, a felezőmerőleges síkban \(\displaystyle R\) sugarú körpályán kering egy \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle Q\)-val ellentétes előjelű \(\displaystyle q\) ponttöltés.

\(\displaystyle a)\) Adjuk meg a keringési időt a pályasugár függvényében!

\(\displaystyle b)\) Elemezzük az \(\displaystyle R\ll L\) és az \(\displaystyle R\gg L\) határeseteket!

\(\displaystyle c)\) Állapítsuk meg, melyik a nagyobb: a körpályán keringésnek, vagy ugyanezen testnek a körpálya egyik átmérője mentén történő, \(\displaystyle R\) amplitúdójú rezgésének az ideje!

(A gyorsuló töltés sugárzásából és a légellenállásból adódó fékeződéstől eltekinthetünk.)

Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Az ellentétes előjelű töltések távolsága \(\displaystyle \sqrt{L^2+R^2}\), a \(\displaystyle q\) töltésre ható erők eredője:

\(\displaystyle F(R)=2k\frac{\vert qQ \vert}{ \left({L^2+R^2}\right)^{3/2}}R.\)

Az \(\displaystyle R\) sugarú körpályán keringő, \(\displaystyle m\) tömegű test mozgásegyenlete:

\(\displaystyle mR\omega^2=F(R),\)

vagyis a keringési idő:

\(\displaystyle T(R)=2\pi\sqrt{\frac{m\left({L^2+R^2}\right)^{3/2}}{2k\vert qQ \vert} }.\)

\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle R\ll L\), \(\displaystyle F(R)\sim R\) miatt a keringési idő \(\displaystyle R\)-től függetlenné válik:

\(\displaystyle T(R)\approx 2\pi\sqrt{ \frac{mL^3 }{2k\vert qQ \vert} }.\)

(A harmonikus rezgőmozgás felfogható egy körmozgás vetületeként, és jól ismert, hogy a távolsággal arányos erő esetén az egyenesvonalú mozgás rezgésideje független a maximális kitéréstől.)

Amennyiben \(\displaystyle R\gg L\), a keringési idő:

\(\displaystyle T(R)\approx 2\pi\sqrt{ \frac{mR^3 }{2k\vert qQ \vert} }.\)

Ez nem meglepő, hiszen nagy távolságban a két rögzített töltés egyetlen \(\displaystyle 2Q\) nagyságú ponttöltéssel helyettesíthető, így az eredő vonzóerő a távolság négyzetével fordítottan arányos. Ez az erőtörvény éppen olyan alakú, mint a Nap és a bolygók közötti gravitációs vonzóerő, tehát (Kepler III. törvénye szerint) \(\displaystyle T^2\sim R^3\).

\(\displaystyle c)\) Hasonlítsuk össze az \(\displaystyle R\) sugaró körpályán történő keringés periódusidejét az \(\displaystyle R\) amplitúdójú rezgés periodusidejét! Mivel az \(\displaystyle F(r)\) erőtörvény nem lineáris, a rezgőmozgás nem lesz harmonikus (nem ,,szinuszos''), így a periódusidejének kiszámítása meglehetősen nehéz matematikai feladat lenne. Ennek ellenére össze lehet hasonlítani a kétféle mozgást.

A körmozgásnál is és a megfelelő rezgőmozgásnál is az erő legnagyobb értéke:

\(\displaystyle F_{\rm max}=2k\frac{\vert qQ \vert}{ \left({L^2+R^2}\right)^{3/2}}R.\)

Az egydimenziós mozgásnál az \(\displaystyle r\le R\) távolsághoz tartozó erő:

\(\displaystyle F_1(r)=\left(\frac{R^2+L^2}{r^2+L^2}\right)^{3/2} \frac{r}{R}\,F_\text{max},\)

míg a körmozgást helyettesítő harmonikus rezgőmozgásnál

\(\displaystyle F_2(r)= \frac{r}{R} \,F_\text{max}.\)

Megmutatjuk, hogy (az indulási helyzetet leszámítva) a mozgás során mindenhol \(\displaystyle F_1(r)>F_2(r)\), ezért bármilyen \(\displaystyle r<R\) helyen az anharmonikus mozgást végző test sebessége nagyobb, mint a másik mozgás sebessége ugyanazon a helyen. Emiatt az anharmonikus rezgés \(\displaystyle T_1\) periódusideje biztosan kisebb lesz, mint a harmonikus rezgőmozgásé (és a vele megegyező ciklusidejű körmozgás) \(\displaystyle T_2\) periódusideje. Valóban:

\(\displaystyle \frac{F_1(r)}{F_2(r)}= \left(\frac{R^2+L^2}{r^2+L^2}\right)^{3/2}\ge1,\qquad \text{ha}\qquad r\le R. \)


Statisztika:

A P. 5229. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi fizika feladatai