Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem P. 5229. (April 2020)

P. 5229. Two point-like charges, each having a charge of $\displaystyle Q$, are fixed at a distance of $\displaystyle 2L$ from each other in weightlessness. Between these charges another point like charge of mass $\displaystyle m$ and of charge $\displaystyle q$ ($\displaystyle q$ and $\displaystyle Q$ are opposite charges) is revolving about the symmetry axis of the charges along a circular path of radius $\displaystyle R$. The plane of this circle is the perpendicular bisector of the line segment that joins the two fixed charges.

$\displaystyle a)$ Determine the period of the circular motion as a function of the radius of the path.

$\displaystyle b)$ Evaluate the limiting cases when $\displaystyle R\ll L$ and when $\displaystyle R\gg L$.

$\displaystyle c)$ Determine which is greater: the period of the motion of charge $\displaystyle q$ along the circular path, or the period of the same charge when it undergoes simple harmonic motion along one of the diameters of the circle with amplitude $\displaystyle R$?

(Neglect the deceleration of the charge due to the radiation of the accelerating charge and due to air resistance.)

(6 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. $\displaystyle a)$ Az ellentétes előjelű töltések távolsága $\displaystyle \sqrt{L^2+R^2}$, a $\displaystyle q$ töltésre ható erők eredője:

$\displaystyle F(R)=2k\frac{\vert qQ \vert}{ \left({L^2+R^2}\right)^{3/2}}R.$

Az $\displaystyle R$ sugarú körpályán keringő, $\displaystyle m$ tömegű test mozgásegyenlete:

$\displaystyle mR\omega^2=F(R),$

vagyis a keringési idő:

$\displaystyle T(R)=2\pi\sqrt{\frac{m\left({L^2+R^2}\right)^{3/2}}{2k\vert qQ \vert} }.$

$\displaystyle b)$ Ha $\displaystyle R\ll L$, $\displaystyle F(R)\sim R$ miatt a keringési idő $\displaystyle R$-től függetlenné válik:

$\displaystyle T(R)\approx 2\pi\sqrt{ \frac{mL^3 }{2k\vert qQ \vert} }.$

(A harmonikus rezgőmozgás felfogható egy körmozgás vetületeként, és jól ismert, hogy a távolsággal arányos erő esetén az egyenesvonalú mozgás rezgésideje független a maximális kitéréstől.)

Amennyiben $\displaystyle R\gg L$, a keringési idő:

$\displaystyle T(R)\approx 2\pi\sqrt{ \frac{mR^3 }{2k\vert qQ \vert} }.$

Ez nem meglepő, hiszen nagy távolságban a két rögzített töltés egyetlen $\displaystyle 2Q$ nagyságú ponttöltéssel helyettesíthető, így az eredő vonzóerő a távolság négyzetével fordítottan arányos. Ez az erőtörvény éppen olyan alakú, mint a Nap és a bolygók közötti gravitációs vonzóerő, tehát (Kepler III. törvénye szerint) $\displaystyle T^2\sim R^3$.

$\displaystyle c)$ Hasonlítsuk össze az $\displaystyle R$ sugaró körpályán történő keringés periódusidejét az $\displaystyle R$ amplitúdójú rezgés periodusidejét! Mivel az $\displaystyle F(r)$ erőtörvény nem lineáris, a rezgőmozgás nem lesz harmonikus (nem ,,szinuszos''), így a periódusidejének kiszámítása meglehetősen nehéz matematikai feladat lenne. Ennek ellenére össze lehet hasonlítani a kétféle mozgást.

A körmozgásnál is és a megfelelő rezgőmozgásnál is az erő legnagyobb értéke:

$\displaystyle F_{\rm max}=2k\frac{\vert qQ \vert}{ \left({L^2+R^2}\right)^{3/2}}R.$

Az egydimenziós mozgásnál az $\displaystyle r\le R$ távolsághoz tartozó erő:

$\displaystyle F_1(r)=\left(\frac{R^2+L^2}{r^2+L^2}\right)^{3/2} \frac{r}{R}\,F_\text{max},$

míg a körmozgást helyettesítő harmonikus rezgőmozgásnál

$\displaystyle F_2(r)= \frac{r}{R} \,F_\text{max}.$

Megmutatjuk, hogy (az indulási helyzetet leszámítva) a mozgás során mindenhol $\displaystyle F_1(r)>F_2(r)$, ezért bármilyen $\displaystyle r<R$ helyen az anharmonikus mozgást végző test sebessége nagyobb, mint a másik mozgás sebessége ugyanazon a helyen. Emiatt az anharmonikus rezgés $\displaystyle T_1$ periódusideje biztosan kisebb lesz, mint a harmonikus rezgőmozgásé (és a vele megegyező ciklusidejű körmozgás) $\displaystyle T_2$ periódusideje. Valóban:

$\displaystyle \frac{F_1(r)}{F_2(r)}= \left(\frac{R^2+L^2}{r^2+L^2}\right)^{3/2}\ge1,\qquad \text{ha}\qquad r\le R.$

### Statistics:

 22 students sent a solution. 6 points: Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Kertész Balázs, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 5 points: Vass Bence, Viczián Anna. 4 points: 7 students. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student.

Problems in Physics of KöMaL, April 2020