Problem P. 5232. (May 2020)

P. 5232. The radius of the bottom sphere of a thin-walled, celluloid roly-poly toy is 3 cm. Inside the toy, a 2 cm diameter steel ball was fixed at the bottom. The roly-poly toy is slowly deflected such that the angle between the vertical and its axis of symmetry is \(\displaystyle 30^\circ\). What will the angular velocity of the roly-poly toy be at the moment when its axis swings over the vertical position? (Static friction is high enough, the toy does not slip on the ground. Rolling friction and air resistance can be neglected.)

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük az alsó gömb sugarát \(\displaystyle R\)-rel, az acélgolyó sugarát \(\displaystyle r\)-rel, a kitérítés szögét \(\displaystyle \alpha\)-val, a keresett szögsebességet pedig \(\displaystyle \omega\)-val. Az egyensúlyi helyzetben a helyzeti energia a kezdőállapot energiájánál

\(\displaystyle E_1=mg(R-r)(1-\cos\alpha)\)

értékkel kisebb. A rendszer (esetünkben az acélgolyó) mozgási energiája a függőleges tengelyű helyzetben a tömegközéppont körüli forgáshoz és a tömegközéppont haladó (transzlációs) mozgásához tartozó energia összege:

\(\displaystyle E_2=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\omega^2 + \frac12 m(r\omega)^2=\frac{7}{10}mr^2\omega^2.\)

Ugyanezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, hogy az acélgolyó forgási energiáját számítjuk ki, de nem a tömegközéppontra, hanem a talajjal érintkező pontjára vonatkoztatva. Erre a pontra a tehetetlenségi nyomaték (a Steiner-tétel szerint) \(\displaystyle \tfrac75mr^2\).

Az energiamegmaradás törvénye szerint \(\displaystyle E_1=E_2\), vagyis

\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{10(R-r)g}{7r^2} (1-\cos\alpha) }=19{,}4~\frac{1}{\rm s}.\)

Statistics:

31 students sent a solution.
4 points:	Balázs 825 Ádám , Bonifert Balázs, Horváth Antal, Kozák Gergely, Somlán Gellért, Szabados Noémi, Szász Levente, Varga Vázsony.
3 points:	Bekes Barnabás, Bokor Endre, Dóra Márton, Endrész Balázs, Fiam Regina, Hamar Dávid, Kertész Balázs, Lê Minh Phúc, Mócza Tamás István, Németh Kristóf, Perényi Barnabás, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Szabó 314 László, Téglás Panna.
1 point:	8 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2020