Problem P. 5234. (May 2020)

P. 5234. A cylindrical container with a vertical axis of symmetry is closed at the top by a piston which is considered to be weightless, as shown in the figure. The container of volume 7 dm\(\displaystyle {}^3\) contains no air, only saturated water vapour at a temperature of \(\displaystyle T\). How much work is done by pushing down the piston slowly until it reaches the level of the water in the container? During the process, the temperature of the entire system is constant. Calculate and plot the work done as a function of the temperature \(\displaystyle T\), where \(\displaystyle 100\;{}^\circ\mathrm{C}\le T\le 370\;{}^\circ\mathrm{C}\). (Data on saturated water vapour pressure, density and water density should be taken from tables.)

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle A\) keresztmetszetű dugattyút felülről \(\displaystyle p_0A\) erővel nyomja a külső légnyomás lefelé (\(\displaystyle p_0=101~\rm kPa\)), alulról pedig a gőz \(\displaystyle p_\text{gőz}A\) erővel felfelé. Állandó hőmérsékleten a gőznyomás állandó, tehát a (súlytalan) dugattyú lenyomásához állandó

\(\displaystyle F=\left(p_\text{gőz}-p_0\right)A\)

erőt kell kifejtenünk.

Az eredeti \(\displaystyle V_0\) térfogatban \(\displaystyle m=\varrho_\text{gőz}V_0\) tömegű vízgőz található. A teljes gőzmennyiség lecsapódásakor a térfogat

\(\displaystyle V_1=\frac{m}{\varrho_\text{víz}}=\frac{\varrho_\text{gőz}}{\varrho_\text{víz}}V_0\)

értékre csökken, a dugattyú elmozdulása tehát

\(\displaystyle \Delta x=\frac{V_0-V_1}{A},\)

az általunk végzett munka pedig

\(\displaystyle W=F\Delta x=\left(p_\text{gőz}-p_0\right)\left(1-\frac{\varrho_\text{gőz}}{\varrho_\text{víz}}\right) V_0.\)

Ebben a képletben \(\displaystyle \varrho_\text{gőz}\), \(\displaystyle \varrho_\text{víz}\) és \(\displaystyle p_\text{gőz}\) a hőmérséklet szerint változó mennyiségek, nagyságukat pl. a Négyjegyű függvénytáblázatokban találhatjuk meg. Feltételezve, hogy \(\displaystyle p_0=101\) kPa, az ábrán vázolt grafikonnak megfelelő \(\displaystyle W(T)\) értékeket kapjuk:

Látható, hogy a függvénykapcsolat nem monoton, hanem kb. \(\displaystyle T_0=350~^\circ\rm C\)-nál maximuma van. Eszerint előfordulhat, hogy két különböző hőmérsékletnél a vízgőz összenyomásakor végzett munka ugyanakkora. A hőmérséklet növelésekor a vízgőz nyomása ugyan fokozatosan nő (és emiatt egyre nagyobb erővel lehet csak lenyomni a dugattyút), azonban a gőz és a víz sűrűségének aránya is egyre növekszik. Így nagyobb erőt kisebb úton kell kifejtenünk, emiatt előfordulhat, hogy magasabb hőmérsékleten kisebb lesz a szükséges munkavégzés, mint egy alacsonyabb hőmérsékletnél.

Statistics:

3 students sent a solution.
4 points:	Ludányi Levente.
3 points:	Sas 202 Mór.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, May 2020