Problem P. 5235. (May 2020)

P. 5235. A sample of monatomic ideal gas of \(\displaystyle n=2\) moles is taken through the process \(\displaystyle A\to P\to B\) shown in the figure. The temperature of the gas in the initial state is \(\displaystyle T_1=280\) K, and in the final state \(\displaystyle T_2=4T_1\). Line segment \(\displaystyle AP\) is parallel to axis \(\displaystyle V\), the extension of line segment \(\displaystyle BC\) passes through the origin, and point \(\displaystyle P\) is the midpoint of the line segment \(\displaystyle BC\).

\(\displaystyle a)\) Determine the temperature of the gas at state \(\displaystyle P\).

\(\displaystyle b)\) How much heat is absorbed by the gas during process \(\displaystyle A\to P\to B\)?

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A gáztörvény szerint

\(\displaystyle pV=nRT.\)

Mivel \(\displaystyle T_2=4T_1\), a \(\displaystyle B\) állapotban a \(\displaystyle pV\) szorzat a \(\displaystyle C\) pontbelinek négyszerese. Másrészt a \(\displaystyle BC\) egyenes mentén \(\displaystyle p\) egyenesen arányos \(\displaystyle V\)-vel, így \(\displaystyle V_B=2V_C\) és \(\displaystyle p_B=2p_C\). Tudjuk, hogy a \(\displaystyle P\) pont a \(\displaystyle CB\) szakasz felezőpontja, tehát

\(\displaystyle V_P=\frac{3}{2}V_C, \qquad p_P=\frac{3}{2}p_C, \qquad \Rightarrow \qquad T_P=\frac{9}{4}T_C=630~\rm K.\)

\(\displaystyle b)\) Egyatomos ideális gáz moláris hőkapacitása állandó térfogaton

\(\displaystyle C_V=\frac{3}{2}R,\)

állandó nyomáson pedig

\(\displaystyle C_p=\frac{5}{2}R.\)

Az \(\displaystyle A\rightarrow P\) folyamat izobár, így a folyamat során felvett hő

\(\displaystyle Q_{AP}=\frac{5}{2}nR\left(T_P-T_A\right)=14{,}5~\rm kJ.\)

A felvett hő a belsőenergia-változás és a gáz által végzett munka összege. A \(\displaystyle P\rightarrow B\) folyamatban a belső energia változása:

\(\displaystyle \frac32nR(T_B - T_P) = 12{,}2~\rm kJ.\)

A munkavégzés:

\(\displaystyle \frac{p_P + p_B}{2} \cdot (V_B - V_P) = \frac78p_B \cdot \frac{1}{4}V_B =\frac7{32}p_B V_B = \frac7{32} nRT_B = 4{,}1~\rm kJ.\)

Tehát a hőközlés ezen a szakaszon:

\(\displaystyle Q_{PB} = 12{,}2~{\rm kJ} + 4{,}1~\rm kJ = 16{,}3~\rm kJ.\)

Megjegyzés. A fenti eredményt más úton is meg lehet kapni. A \(\displaystyle P\rightarrow B\) folyamat során

\(\displaystyle pV^{(-1)}=\text{állandó}.\)

Ez speciális esete a politropikus folyamatoknak, amelyben \(\displaystyle pV^\alpha=\text{állandó},\) és amelyek során a moláris hőkapacitás (lásd pl. a P. 5061. feladatot a KöMaL 2018. októberi számában):

\(\displaystyle C=\frac{C_p-\alpha C_V}{1-\alpha}.\)

Esetünkben az ún. politrop kitevő \(\displaystyle \alpha=-1\), így \(\displaystyle C=2R\), a felvett hő tehát:

\(\displaystyle Q_{PB}=2nR\left(T_B-T_P\right)=16{,}3~\rm kJ.\)

Az \(\displaystyle A\rightarrow P\rightarrow B\) folyamatban összesen felvett hő: 30,8 kJ.

Statistics:

27 students sent a solution.
5 points:	Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bokor Endre, Endrész Balázs, Györgyfalvai Fanni, Horváth 999 Anikó, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony, Vass Bence, Viczián Anna.
4 points:	Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Fekete Levente, Schäffer Bálint, Tóth Ábel.
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, May 2020