Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5238. feladat (2020. május)

P. 5238. Egy \(\displaystyle m_0\) tömegű elektromos játékautó \(\displaystyle m\) tömegű teherrel a platóján állandó sebességgel halad felfelé egy \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű lejtőn. Az \(\displaystyle r\) sugarú kerekeket meghajtó villanymotort állandósult állapotban modellezhetjük egy \(\displaystyle R\) ellenállással sorosan kapcsolt olyan áramköri elemmel, amelynek \(\displaystyle U\) feszültsége a tengely \(\displaystyle \omega\) szögsebességével arányos (\(\displaystyle U=\gamma\omega\)), az \(\displaystyle I\) árama pedig a tengelyek által kifejtett \(\displaystyle M\) forgatónyomatékkal arányos \(\displaystyle (I=M/\gamma)\). A kisautó egy olyan teleppel működik, amelynek üresjárati feszültsége \(\displaystyle U_0\), belső ellenállása pedig \(\displaystyle R_{\mathrm{b}}\).

Adatok: \(\displaystyle m_0=300\) g, \(\displaystyle \alpha=30^\circ\), \(\displaystyle r=2\) cm, \(\displaystyle \gamma=1{,}2\) Vs, \(\displaystyle U_0=4{,}5\) V, \(\displaystyle R=0{,}8~\Omega\), \(\displaystyle R_\text{b}=1{,}2~\Omega\). (A kerekek és a lejtő közötti tapadási súrlódás elég nagy, így az autó nem csúszik meg.)

\(\displaystyle a)\) Mekkora állandósult sebességgel halad a kisautó, ha \(\displaystyle m=600~\)g teher van a platóján?

\(\displaystyle b)\) Mekkora \(\displaystyle m\) teher esetén lesz a legjobb a szállítás hatásfoka? (A hatásfokon a teher emelésére fordított energia és a telep által leadott energia hányadosát értjük.)

Közli: Olosz Balázs, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha az autó \(\displaystyle v\) sebességgel halad felfelé a lejtőn, akkor a kerekeinek szögsebessége \(\displaystyle \omega=v/r\), a villanymotor modelljében szereplő áramköri elemre (ideális motorra)

\(\displaystyle U=\gamma \frac{v}{r} \)

feszültség jut.

Az áramkörben folyó \(\displaystyle I\) áram hatására az \(\displaystyle R_{\rm b}\) belső ellenálláson és az \(\displaystyle R\) ,,terhelő ellenálláson" összesen \(\displaystyle I(R_{\rm b}+R)\) feszültség esik, így a huroktörvény szerint

\(\displaystyle U_0-I(R_{\rm b}+R)-U=0.\)

A motor által leadott mechanikai teljesítmény: \(\displaystyle P=M\omega\) az áramköri elem által felvett \(\displaystyle UI\) elektromos teljesítménnyel egyenlő; emiatt nevezhetjük ezt az áramköri elemet ideális (100%-os hatásfokú) motornak.

A motor mechanikai munkája az \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű lejtőn \(\displaystyle v\) sebességgel haladó, a teherrel együtt összesen \(\displaystyle m_0+m\) tömegű autó helyzeti energiájának növekedését fedezi:

\(\displaystyle P=\frac{\Delta E_\text{helyzeti}}{\Delta t}=\frac{(m_0+m)g\sin\alpha\,v\Delta t} {\Delta t},\)

vagyis

\(\displaystyle UI=(m_0+m)g\,v\sin\alpha,\)

tehát

\(\displaystyle I=\frac{P}{U}=\frac{r}{\gamma}(m_0+m)g \sin\alpha.\)

(Érdekes, hogy az áramerősség nem függ az autó sebességétől.)

A fenti egyenletekből:

\(\displaystyle U_0-\frac{r}{\gamma}(R_{\rm b}+R)(m_0+m)g\sin\alpha-\frac{v}{r}\gamma=0,\)

ahonnan a játékautó sebessége kifejezhető:

\(\displaystyle v=\frac{r}{\gamma}U_0-\frac{r^2}{\gamma^2} (R_{\rm b}+R)(m_0+m)g\sin\alpha=7{,}25~\frac{\rm cm}{\rm s}.\)

\(\displaystyle b)\) Hatásfok maximalizálása.

A hasznos teljesítmény az előző részben megkapott sebességformula felhasználásával:

\(\displaystyle P_\text{hasznos}=mg\sin\alpha \cdot v=mg\sin\alpha\left(\frac{r}{\gamma}U_0-\frac{r^2}{\gamma^2}(R_{\rm b}+R)(m_0+m)g\sin\alpha\right).\)

Az áramerősség ismeretében a telep által leadott összes teljesítmény:

\(\displaystyle P_\text{telep}=U_0I=\frac{r}{\gamma} U_0(m_0+m)g \sin\alpha.\)

A hatásfok a két teljesítmény hányadosa:

\(\displaystyle \eta(m)=\frac{P_\text{hasznos}}{P_\text{telep}}=\frac{m}{m_0 +m}-\frac{r (R_{\rm b}+R)g \sin\alpha}{U_0\gamma}\cdot m.\)

Ennek a függvénynek keressük a maximumát.

A \(\displaystyle k=\frac{r (R_{\rm b}+R)g \sin\alpha}{U_0\gamma}\) jelölés bevezetésével \(\displaystyle \eta\) így is felírható:

\(\displaystyle \eta=\frac{m}{m+m_0}-km=(1+km_0)-\left(\frac{m_0}{m+m_0}+k(m+m_0)\right),\)

ahonnan a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség szerint

\(\displaystyle \eta\le 1+km_0-2 \sqrt{km_0}=\left(1-\sqrt{km_0}\right)^2.\)

Mivel a megadott számadatok mellett \(\displaystyle k\approx \frac{1}{27\,\rm kg}\), \(\displaystyle \eta\) legnagyobb értéke kb. 80%, és ezt a hatásfokot akkor érheti el a játékautó, ha a terhelése

\(\displaystyle m=\sqrt{\frac{m_0}{k}}-m_0\approx 2{,}55~\rm kg.\)


Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Békési Ábel, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Kertész Balázs, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Toronyi András, Viczián Anna.
4 pontot kapott:Bokor Endre, Horváth 999 Anikó.
3 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2020. májusi fizika feladatai