Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5245. feladat (2020. szeptember)

P. 5245. Teherszállító repülőgép halad az Egyenlítő felett 11 km magasan 1000 km/h sebességgel, először nyugati, majd keleti irányban. A repülőtéren hitelesített rugós mérleg segítségével mindkét alkalommal megmérik a gépben egy, a fedélzeten lévő nehéz tárgy tömegét. A két mért érték között 1 kg a különbség. Mekkora a tárgy valódi tömege?

Közli: Simon Péter, Pécs

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. október 15-én LEJÁRT.


I. megoldás. Jelöljük a repülőgép körpályájának sugarát (vagyis az Egyenlítő sugarának és a repülési magasságnak az összegét) \(\displaystyle r\)-rel, a test tényleges tömegét \(\displaystyle m\)-mel, a Föld forgási szögsebességét \(\displaystyle \omega\)-val, a repülőgép (Földhöz viszonyított) sebességét pedig \(\displaystyle v\)-vel.

A repülőgéppel együtt mozgó test sebessége (az inerciarendszerből nézve) \(\displaystyle r\omega\pm v\) (az előjel a repülés irányától függ). A test mozgásegyenlete:

\(\displaystyle \gamma\frac{Mm}{r^2}-G_1=m\frac{(r\omega +v)^2}{r},\)

illetve

\(\displaystyle \gamma\frac{Mm}{r^2}-G_2=m\frac{(r\omega- v)^2}{r},\)

ahol \(\displaystyle G_1\) a kelet felé tartó repülőn, \(\displaystyle G_2\) pedig a nyugat felé tartó repülőn a rugós mérleg által kifejtett erő, vagyis a test mért súlya. A fenti egyenleteket egymásból kivonva kapjuk, hogy

\(\displaystyle G_2-G_1=4mv\omega.\)

Ez az erő a Föld felszínén nyugvó, \(\displaystyle \Delta m=1~\rm kg\) tömegű test súlyával egyezik meg, tehát a test tényleges tömege:

\(\displaystyle m= \frac{g}{4v\omega}\cdot (1~{\rm kg})=\frac{9{,}81}{4\cdot \frac{1000}{3{,}6} \cdot \frac{2\pi}{24\cdot 3600}}\,{\rm kg}\approx 120\,{\rm kg}.\)

A fenti képlet nem tartalmazza \(\displaystyle r\)-t, tehát a számolás tetszőleges magasságban mozgó szállítóeszközre, akár egy űrállomásra is érvényes lenne.

II. megoldás. Írjuk le a helyzetet a Földhöz rögzített, tehát forgó koordináta-rendszerből. Az \(\displaystyle \boldsymbol \omega\) szögsebességgel forgó rendszerben \(\displaystyle \boldsymbol v\) sebességgel mozgó, \(\displaystyle m\) tömegű testre ,,tehetetlenségi erők'' is hatnak: a sebesség négyzetével arányos centrifugális erő és az

\(\displaystyle \boldsymbol F=2m\boldsymbol\omega\times \boldsymbol v\)

összefüggésből számítható Coriolis-erő. Ezek az erők hozzáadódnak a Föld által kifejtett gravitációs erőhöz és a Földhöz képest nem mozgó testre is ható centrifugális erőhöz. A kétféle mozgásirányhoz tartozó súlyok különbsége éppen a Coriolis-erő kétszerese. Mivel az Egyenlítő felett mozgó repülő esetében \(\displaystyle \boldsymbol v\) és \(\displaystyle \boldsymbol \omega\) egymásra merőleges vektorok, a súlykülönbség

\(\displaystyle G_2-G_1=2\vert \boldsymbol F \vert =4mv\omega=(1~{\rm kg})\cdot g,\)

ahonnan

\(\displaystyle m= \frac{g}{4v\omega}\cdot (1~{\rm kg})\approx 120\,{\rm kg}.\)

Megjegyzés. A feladatban leírt jelenséget Eötvös-effektusnak nevezik; lásd még Eötvös Loránd. Kísérleti kimutatása annak a nehézségi változásnak, amelyet valamely, a szabályos alakúnak felvett földfelületen keleti vagy nyugati irányban mozgó test e mozgás által szenved. Matematikai és Természettudományi Értesítő, XXXVII., 1., 1-28. 1920.


Statisztika:

A P. 5245. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. szeptemberi fizika feladatai