Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 5247. (September 2020)

P. 5247. On each of the opposite faces of a rectangular aquarium there is a circular hole covered by a thin spherical cap-shaped piece of glass, as shown in the figure. The common principal axis of the caps is horizontal. The radius of curvature of the concave cap – the one depressed into the aquarium – is \(\displaystyle r\), and that of the convex cap – bulging outward from the aquarium – is \(\displaystyle 2r\). The topmost points of both caps are below the surface of the water in the aquarium. The refractive index of water is \(\displaystyle n=4/3\). (The angle between the principal axis of the spherical glass cap, and the radius drawn from the centre of the sphere to a point on the perimeter of the circular base of the cap is small.)

\(\displaystyle a)\) What is the distance between the two faces of the aquarium, containing the glass caps, if a parallel beam of light entering horizontally to one of the spherical caps emerges from the other glass cap as a parallel and horizontal beam of light?

\(\displaystyle b)\) What is the ratio of the diameters of the two spherical caps \(\displaystyle d_2\) to \(\displaystyle d_1\), if a horizontal light beam entering the aquarium through any of the spherical caps exits entirely through the other spherical glass cap?

\(\displaystyle c)\) There is a tiny fish at the common principal axis in the middle of the aquarium. Where can this fish be observed, when viewed through one of the glass caps on one side, then through the other?

(5 pont)

Deadline expired on October 15, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle n_1\) törésmutatójú közegben a tárgytávolság \(\displaystyle t\), \(\displaystyle n_2\) törésmutatójú közegben a képtávolság \(\displaystyle k\), és a két közeget \(\displaystyle R\) görbületi sugarú, gömbsüveg alakú felület választja el egymástól, akkor a leképezési törvény (lásd pl. a P. 5190. feladat megoldását a KöMaL 2020. évi 5. számának 309. oldalán, vagy a honlapon) így írható:

\(\displaystyle \frac{n_1}{t}+\frac{n_2}{k}=\frac{n_2-n_1}{R}.\)

(A képlet akkor érvényes, ha a gömbsüveg középpontja a kép oldalára esik.)

\(\displaystyle a)\) A levegőből párhuzamosan érkező, a kifele domborodó felületen keresztül a vízbe belépő fénynél \(\displaystyle n_1=1\), \(\displaystyle n_2=\tfrac43\), \(\displaystyle R=2r\) és \(\displaystyle t\) ,,végtelen nagy''. Ekkor a leképezési törvény szerint

\(\displaystyle 0+\frac{4/3}{k}=\frac{4/3-1}{2r},\)

ahonnan \(\displaystyle k=8r\) következik.

A vízből kilépő fényre \(\displaystyle n_1=\tfrac43\), \(\displaystyle n_2=1\), \(\displaystyle t=d-8r\), \(\displaystyle R=r\) és \(\displaystyle k\) ,,végtelen nagy''. A leképezési törvényből számolva

\(\displaystyle \frac{4/3}{d-8r}+0=\frac{1-4/3}{r},\)

innen az akvárium mérete: \(\displaystyle d=4 r\). A fénysugarak megfordíthatósága miatt ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a fény az ellenkező oldalról érkezik.

\(\displaystyle b)\) A fenti számolás eredménye szerint a párhuzamosan érkező fénysugarak a kifelé domborodó gömbsüvegtől \(\displaystyle 8r\) távoli pont felé indulnak el, ami a befelé domborodó felülettől \(\displaystyle 4r\) távolságban van. Ezen távolságok aránya \(\displaystyle 2:1\), tehát a keresett \(\displaystyle d_2/d_1\) arány is 2. (Ez a görbült felületek legszélén áthaladó fénysugarak menetéből látszik.)

\(\displaystyle c)\) A halacska az akvárium közepén van, tehát \(\displaystyle t=2r\), továbbá \(\displaystyle n_1=\tfrac43\), illetve \(\displaystyle n_2=1\). A kifelé domborodó oldalról nézve \(\displaystyle R=-2r\) (a negatív előjel azt fejezi ki, hogy a gömbsüveg középpontja a tárgy oldalára esik). Ezek szerint

\(\displaystyle \frac{4/3}{2r}+\frac{1}{k}=\frac{1-4/3}{-2r},\)

tehát \(\displaystyle k=-2r\). A kép látszólagos, és a vízben, éppen a gömbsüveg görbületi középpontjánál jön létre.

A befelé domboruló oldalról nézve \(\displaystyle R=r\), vagyis

\(\displaystyle \frac{4/3}{2r}+\frac{1}{k}=\frac{1-4/3}{r},\)

ahonnan \(\displaystyle k=-r\) adódik. A kép most is látszólagos, és a vízben, a befelé domborodó gömbsüvegtől \(\displaystyle r\) távolságban jön létre.


Statistics:

11 students sent a solution.
5 points:Fekete András Albert, Kertész Balázs, Somlán Gellért, Tóth Ábel.
3 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.

Problems in Physics of KöMaL, September 2020