Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5251. feladat (2020. október)

P. 5251. Az \(\displaystyle m\) tömegű, kis méretű testet az ábrán látható, rögzített hasáb \(\displaystyle A\) pontjában kezdősebesség nélkül elengedjük. A test a bal oldali egyenes szakaszon és az \(\displaystyle R\) sugarú köríven súrlódásmentesen csúszik. A jobb oldali egyenes szakasz nem súrlódásmentes, a súrlódási tényező \(\displaystyle \mu\).

\(\displaystyle a)\) Mekkora erővel nyomja a test a hasábot a pálya legmélyebb pontján?

\(\displaystyle b)\) Mekkora a test sebessége a \(\displaystyle C\) pontban?

\(\displaystyle c)\) Milyen \(\displaystyle h\) magasságba emelkedik fel a test?

Adatok: \(\displaystyle m =0{,}6\) kg, \(\displaystyle R = 30\) cm, \(\displaystyle \alpha = 60^\circ\), \(\displaystyle \mu = \frac12 \tg\alpha\).

Közli: Kotek László, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 16-án LEJÁRT.


Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük a keresett sebességet \(\displaystyle v\)-vel, és írjuk fel a munkatételt az \(\displaystyle A\) pont és a pálya legmélyebb pontja közötti mozgásra:

\(\displaystyle mg\cdot 2R=\frac{1}{2}mv^2,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{v^2}{R}=4g.\)

(Ez a mennyiség nem más, mint a test centripetális gyorsulása a pálya legmélyebb pontjánál.) A dinamika alaptörvénye szerint

\(\displaystyle N-mg=4mg,\)

azaz a hasábotot nyomó erő:

\(\displaystyle N=5mg=29{,}4~{\rm N}.\)

\(\displaystyle b)\) Jelöljük a kérdéses sebességet \(\displaystyle u\)-val, és írjuk fel a munkatételt az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle C\) pont közötti mozgásra:

\(\displaystyle mg(R+R\cos\alpha)=\frac{mu^2}{2},\)

tehát

\(\displaystyle u=\sqrt{2g(R+R\cos\alpha)}=\sqrt{3Rg}=2{,}97~\frac{\rm m}{\rm s}\approx 3~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

\(\displaystyle c)\) Legyen a súrlódásos szakasz hossza \(\displaystyle \ell\). Mivel a testre ható súrlódási erő \(\displaystyle S=mg\mu \cos\alpha=\frac{mg}{2}\sin\alpha\), a munkatétel az indulástól a megállásig:

\(\displaystyle mg\left(\frac32R-\ell\sin\alpha\right)- \frac{mg}{2}\ell\sin\alpha =0,\)

ahonnan \(\displaystyle \ell\sin\alpha=R\) következik. A kérdéses magasság tehát

\(\displaystyle h=R(1-\cos\alpha)+\ell\sin\alpha = R\left(1-\frac12\right)+R=\frac32R=45~\rm cm.\)


Statisztika:

A P. 5251. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. októberi fizika feladatai