Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 5252. feladat (2020. október)

P. 5252. \(\displaystyle M\) tömegű, vékony falú csőre fonalat csévélünk, és a fonalat húzva az ábrán látható módon a csövet állandó sebességgel gurítjuk. A cső tisztán gördül a vízszintes talajon. A cső belsejébe kis méretű, \(\displaystyle m\) tömegű testet helyeztünk, ami odabent állandósult szöghelyzetben csúszik, a súrlódási együttható itt \(\displaystyle \mu\). Mekkora vízszintes fonálerő szükséges az állandó sebesség fenntartásához?

Közli: Vladár Károly, Kiskunhalas

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 16-án LEJÁRT.


Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit, és írjuk le a mozgást a cső tengelyével együtt mozgó koordináta-rendszerben.

Az \(\displaystyle m\) tömegű test (a stacionárius állapot beállta után) nem mozog, miközben alatta egy \(\displaystyle \alpha\) hajlásszögű ,,lejtő'' csúszik felfelé. Az erőegyensúly feltétele: \(\displaystyle \alpha\) éppen a súrlódási határszöggel egyezik meg, vagyis

\(\displaystyle \mu=\tg\alpha.\)

A karika egyenletesen forog, ezért a rá ható erők eredő forgatónyomatéka tetszőleges pontra, pl. a talajjal érintkező pontjára vonatkoztatva nulla. Erre a pontra nézve csak a fonalat feszítő \(\displaystyle F\) nagyságú, vízszintes erőnek és az \(\displaystyle mg\) nagyságú nehézségi erőnek van forgatónyomatéka.

A forgatónyomatékok egyensúlyának feltétele:

\(\displaystyle mgR\sin\alpha=2RF,\)

vagyis

\(\displaystyle F=\frac{mg}{2}\sin\alpha=\frac{mg}{2}\frac{\tg\alpha}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}} =\frac{mg}{2}\frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}.\)

Megjegyzés. Látható, hogy a szükséges fonálerő nem függ a cső \(\displaystyle M\) tömegétől.


Statisztika:

A P. 5252. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. októberi fizika feladatai